Матричные многочлены и функции

 

Возведение матрицы в степень. Матричный многочлен. Матричный многочлен с числовыми коэффициентами. Матричный ряд. Определение элементарных функций от матриц через матричные ряды. Методы приближенного нахождения функции от матрицы. Корни матричных многочленов. Минимальный многочлен. Теорема Гамильтона-Кэли. Подобные матрицы.

Тематическое содержание семинарских занятий

 

1. Системы координат на плоскости. Векторы и линейные операции над ними. Проекция вектора на ось. Разложение вектора на компоненты. Скалярное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл. Преобразование координат вектора при повороте системы координат.

2. Основные задачи аналитической геометрии. Прямая линия на плоскости. Направляющий вектор. Общее уравнение прямой, различные формы уравнения прямой. Параллельность и перпендикулярность прямых.

3. Уравнение окружности. Основные задачи на прямую и окружность. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения кривых второго порядка.

4. Векторы в пространстве. Векторное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл. Смешанное произведение трех векторов, его свойства и геометрический смысл.

5. Уравнение плоскости. Уравнение прямой в пространстве. Уравнение сферы. Основные задачи на плоскость, сферу и прямую в пространстве. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

6. Обобщение понятия «вектор». Векторы-столбцы и векторы-строки. Матрицы. Произведение строки на столбец. Произведение матрицы на столбец. Произведение матриц. Свойства линейных операций над матрицами.

7. Определитель (детерминант) матрицы. Свойства детерминанта. Способы вычисления детерминанта. Вычисление детерминанта раскрытием по строке (столбцу). Единичная матрица. Обратная матрица. Вычисление элементов обратной матрицы. Вырожденная матрица. Ранг матрицы.

8. Связь матриц с системами линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Матрица и расширенная матрица СЛАУ. Вырожденные и невырожденные СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли.

9. Решение невырожденной СЛАУобращением матрицы. Решение невырожденной СЛАУ методом Крамера. Решение вырожденных СЛАУ.. Однородные СЛАУ.

10. Понятие множества. Точечные и числовые множества. Основные операции над множествами. Декартово произведение множеств. Соответствие между множествами. Мощность множества.

11. Алгебраические операции на множестве. Свойства операций. Группа, кольцо, поле. Кольцо вычетов. Кольцо многочленов. Каноническое разложение многочлена. Свойства элементов группы. Разложение группы в смежные классы. Группы подстановок.

12. Натуральные числа. Кольцо целых чисел. Поле рациональных чисел. Поле действительных чисел. Определение комплексного числа. Поле комплексных чисел. Алгебраические операции с комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрическое представление комплексных чисел. Формула Эйлера. Понятие о функции комплексного переменного.

13. Определение линейного преобразования и линейного оператора. Матричное представление линейного оператора. Собственный базис линейного оператора. Нахождение собственных чисел и собственных векторов линейного оператора. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.

14. Линейные операторы и функционалы. Сопряженные операторы. Самосопряженные операторы. Собственные числа и собственные векторы самосопряженного оператора. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Инварианты квадратичной формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка с помощью квадратичных форм.

15. Кольцо многочленов. Деление многочленов (алгоритм Евклида). Простые делители многочлена. Неприводимые многочлены. Основная теорема алгебры. Кратные корни. Нахождение корней многочленов 3-й и 4-й степени. Теорема Абеля. Понятие о методах приближенного нахождения корней.

16. Поле рациональных дробей. Преобразование неправильной рациональной дроби в сумму многочлена и правильной дроби. Элементарные дроби. Разложение правильной рациональной дроби на элементарные (метод неопределенных коэффициентов).

17. Возведение матрицы в степень. Матричный многочлен. Матричный многочлен с числовыми коэффициентами. Матричный ряд. Определение элементарных функций от матриц через матричные ряды. Методы приближенного нахождения функции от матрицы. Корни матричных многочленов. Минимальный многочлен. Теорема Гамильтона-Кэли. Подобные матрицы.

 

 

Образовательные технологии

 

Проведение лекций, практических занятий сопровождается демонстрацией презентаций с применением мультимедийного оборудования. Выполнение заданий для самостоятельной работы осуществляется с использованием информационно-справочных систем, электронных библиотек и справочников. Решение заданий для самостоятельной работы предусматривает использование прикладных математических программ (Mathcad, Mathlab и пр.)

Содержание УМКД предусматривает изучение настоящей дисциплины в виде лекций, семинарских (практических) занятий, самостоятельной работы. Основной упор делается на решении задач по соответствующим темам, включая самостоятельную работу с учебником и с задачником.

Проведение лекций, практических занятий сопровождается демонстрацией презентаций с применением мультимедийного оборудования. Выполнение заданий для самостоятельной работы осуществляется с использованием информационно-справочных систем, электронных библиотек и справочников. Решение заданий для самостоятельной работы предусматривает использование прикладных математических программ (Mathcad, Mathlab и пр.)

Содержание УМКД предусматривает изучение настоящей дисциплины в виде лекций, семинарских (практических) занятий, самостоятельной работы. Основной упор делается на решении задач по соответствующим темам, включая самостоятельную работу с учебником и с задачником.

Промежуточная аттестация может проводиться в устной, письменной или рейтинговой формах. Студенты, не прошедшие промежуточную аттестацию, к экзамену (зачету) не допускаются. Зачеты и экзамены проводятся в письменной форме. Типовые задачи для экзамена приведены в соответствующем разделе настоящего УМКД. Типовой экзаменационный билет содержит 10 заданий по всем основным темам курса. При оценке письменных экзаменационных работ студентов следует придерживаться следующих критериев: за каждое задание билета выставляется балл в диапазоне от 0 до 1 с шагом 0,1. Например, если задача решена наполовину, то ставится 0,5 балла, если задача решена с незначительной ошибкой – ставится 0,8 или 0,9, за полностью правильно решенную задачу ставится 1 балл. Далее подсчитывается сумма баллов. Если сумма баллов меньше 3,0, то ставится оценка «неудовлетворительно» («незачтено»), от 3,0 до 5,9 – «удовлетворительно» (и более – «зачтено»), от 6,0 до 8,5 – «хорошо», 8,6 и выше – «отлично».

 

1.4. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы

студентов.