Векторный анализ и аналитическая геометрия на плоскости.

a. Системы координат на плоскости.

b. Векторы и линейные операции над ними.

c. Проекция вектора на ось.

d. Разложение вектора на компоненты.

e. Скалярное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл.

f.Преобразование координат вектора при повороте системы координат. Основные задачи аналитической геометрии.

g. Прямая линия на плоскости.

h. Направляющий вектор.

i. Общее уравнение прямой, различные формы уравнения прямой. Параллельность и перпендикулярность прямых.

j. Уравнение окружности.

k. Основные задачи на прямую и окружность.

l. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения кривых второго порядка.

Векторный анализ и аналитическая геометрия в пространстве.

a. Векторы в пространстве.

b. Векторное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл.

c. Смешанное произведение трех векторов, его свойства и геометрический смысл.

d. Уравнение плоскости.

e. Уравнение прямой в пространстве.

f.Уравнение сферы.

g. Основные задачи на плоскость, сферу и прямую в пространстве.

h. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

Матрицы и детерминанты.

a. Обобщение понятия «вектор».

b. Векторы-столбцы и векторы-строки. Матрицы.

c. Произведение строки на столбец.

d. Произведение матрицы на столбец.

e. Произведение матриц.

f.Свойства линейных операций над матрицами.

g. Определитель (детерминант) матрицы. Свойства детерминанта. Способы вычисления детерминанта.

h. Вычисление детерминанта раскрытием по строке (столбцу).

i. Единичная матрица.

j. Обратная матрица. Вычисление элементов обратной матрицы.

k. Вырожденная матрица. Ранг матрицы.

4. Системы линейных алгебраических уравнений.

a. Связь матриц с системами линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

b. Матрица и расширенная матрица СЛАУ.

c. Вырожденные и невырожденные СЛАУ.

d. Теорема Кронекера-Капелли.

e. Решение невырожденной СЛАУ обращением матрицы.

f.Решение невырожденной СЛАУ методом Крамера.

g. Решение вырожденных СЛАУ.

h. Однородные СЛАУ.

5. Элементы теории множеств.

a. Понятие множества.

b. Точечные и числовые множества.

c. Основные операции над множествами.

d. Декартово произведение множеств.

e. Соответствие между множествами.

f.Мощность множества.

6. Алгебраические структуры.

a. Алгебраические операции на множестве.

b. Свойства операций.

c. Группа. Примеры.

d. Кольцо. Примеры.

e. Поле. Примеры.

Числовые множества. Комплексные числа

a. Натуральные числа.

b. Кольцо целых чисел.

c. Поле рациональных чисел.

d. Поле действительных чисел.

e. Определение комплексного числа.

f.Поле комплексных чисел.

Линейные пространства.

a. Определение и примеры.

b. Линейная зависимость. Базис.

c. Линейные операторы.

d. Собственные значения и собственные векторы.

Квадратичные формы.

a. Определение и примеры.

b. Канонический вид квадратичной формы.

c. Инварианты квадратичной формы. Закон инерции.

d. Уравнения кривых и поверхностей второго порядка.

e. Анализ кривых и поверхностей на основе инвариантов квадратичных форм.

Комплексные числа.

a. Поле комплексных чисел, как обобщение поля действительных чисел.

b. Модуль и аргумент комплексного числа.

c. Операции с комплексными числами. Умножение и деление комплексных чисел.

d. Формула Эйлера.

e. Понятие о функции комплексного переменного.

Многочлены.

a. Многочлен над полем комплексных чисел.

b. Делители многочленов.

c. Деление многочленов друг на друга с остатком.

d. Корни многочлена. Кратность корня.

e. Основная теорема алгебры.

f.Вычисление корней многочлена. Теорема Абеля.

Рациональные дроби.

a. Определение рациональной дроби. Правильная дробь.

b. Простейшие дроби.

c. Разложение рациональной дроби на простейшие.