Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду

 

 

В некоторых вопросах математики и физики требуется решить следующую задачу: привести две квадратичные формы и , заданные в -мерном пространстве к каноническому (диагональному) виду и указать соответствующий базис в пространстве .

Можно показать, что эта задача не всегда имеет решение. Если же допустить дополнительно, что одна из этих форм, например , положительно определенная, то поставленная задача имеет решение.

Для того чтобы в этом убедиться обозначим через симметричную билинейную форму, соответствующую квадратичной форме и в пространстве евклидову метрику, положив

. (7.13)

Так как квадратичная форма симметричная и положительно определенная, то аксиомы скалярного произведения выполняются.

Ранее было показано, что существует ортонормированный базис (относительно введенной нами метрики), в котором квадратичная форма принимает вид

, (7.14)

 

где – координаты вектора в построенном базисе.

В этом же базисе вторая квадратичная форма имеет вид

 

,

 

а это значит, что базис, в котором обе квадратичные формы и имеют канонический вид, существует.

Для того чтобы найти координаты векторов искомого базиса, рассмотрим вопрос о значениях, которые принимает квадратичная форма на единичной сфере евклидова пространства и о нахождении стационарных значений формы. Заметим, что дифференцируемая функция определенная в точках поверхности принимает в точке стационарное значение, если в точке производная функции по любому направлению на поверхности равна нулю. Можно показать, что имеет место следующее утверждение:

Квадратичная форма принимает стационарные значения на тех векторах единичной сферы, которые являются собственными векторами симметричного оператора , соответствующего форме .

Задача об определении стационарных значений есть задача на условный экстремум. Для решения воспользуемся методом Лагранжа. Будем считать, что в исходном базисе квадратичные формы и имели следующие выражения:

,

.

В согласии с методом Лагранжа составим функцию

(7.15)

и приравняем нулю каждую ее частную производную по всем координатам . Получим систему однородных уравнений

 

(7.16)

 

которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, то есть

. (7.17)

 

Решив уравнение (7.17), мы найдем корней , подставляя их последовательно в систему (7.16) мы будем находить координаты соответствующего искомого базисного вектора. Доказано, что уравнение (7.17) имеет только вещественные корни, причем каждому кратному корню соответствует столько линейно независимых решений системы (7.16) какова его кратность. Находить эти линейно независимые решения следует используя правила решения однородных систем линейных уравнений.

Показано также, что коэффициенты в канонической записи (7.14) квадратичной формы совпадают с соответствующими корнями определителя (7.17) .

Рассмотрим пример.

Пример 1. Привести квадратичные формы

 

, (7.18)

(7.19)

 

к каноническому виду и получить формулы перехода от старых координат к новым.

 

 

В нашем случае функция будет иметь вид

.

Вычислим частные производные функции по и приравняем каждую из них нулю. Будем иметь

Сократим каждое уравнение этой системы на 2 и запишем ее в виде

(7.20)

Приравняем нулю определитель этой системы

. (7.21)

Последнее равенство можно записать в виде

 

или после вчисления определителя

.

 

Отсюда находим три решения: , , . Подставляя их в систему уравнений (7.20), находим координаты искомых базисных векторов

 

, , ,

 

а тогда формулы перехода от старых координат к новым имеют вид

, , . (7.22)

 

Данные квадратичные формы имеют следующий канонический вид

 

,

.

 

Полученный результат легко проверить, если в правых частях равенств (7.18) и (7.19) заменить соответствующими выражениям из (7.22).