Несовместные системы линейных уравнений

 

 

Рассмотрим несовместную систему линейных уравнений

 

(5.6)

 

относительно неизвестных . Так как система (5.6) несовместна, то это значит, что не существует такого набора чисел , которые при подстановке в систему (5.6) вместо неизвестных обращали бы каждое уравнение системы в тождество.

 

Подставляя различные наборы чисел вместо неизвестных в левые части уравнений (5.6), мы будем получать наборы чисел .

Требуется найти такой набор чисел , чтобы среднее квадратное отклонение соответствующих чисел от данных величин , т.е. значение выражения

(5.7)

было наименьшим по сравнению с другими возможными значениями. Заметим, что требование отыскать наименьшее значение величины (5.7) означает требование найти такие значения коэффициентов , для которых абсолютные величины ошибок были в каком-то смысле малыми в совокупности.

Для решения поставленной задачи введем в рассмотрение векторов , компонентами которых являются столбцы коэффициентов при соответственно, то есть

 

, ,…, ,

. (5.8)

 

Обозначим через линейную комбинацию векторов (5.8), так что

 

, (5.9)

 

где числа принимают любые значения.

 

Совокупность всех линейных комбинаций (5.9) образуют подпространство . С геометрической точки зрения ясно, что выражение (5.7) принимает наименьшее значение тогда, когда вектор совпадает с перпендикуляром к проекциивектора на подпространство , а это значит, что вектор должен быть ортогонален каждому из векторов , т.е. должны выполняться равенств

 

; ; . (5.10)

 

Заменив вектор во всех уравнениях (5.10) на соответствующие выражения из (5.9) и произведя очевидные операции, получим систему линейных неоднородных уравнений относительно неизвестных .

 

(5.11)

 

Так как поставленная задача имеет единственное решение, то определитель системы (5.11)

 

(5.12)

 

отличен от нуля и, следовательно, по теореме Крамера получаем выражения для коэффициентов ,

(5.13)

Из изложенного следует, что полученный набор чисел решает поставленную задачу.

Метод наименьших квадратов

 

На практике часто возникает такая задача: известно, что величина линейно зависит от величин так, что имеет место равенство

 

,

 

но коэффициенты неизвестны. Для их определения произведено с одинаковой точностью замеров (здесь ) величины , то есть известны числа и соответствующие замеры величин , то есть известны числа . Это значит, что должны выполняться уравнений системы (5.6). Но вследствие неизвестных ошибок при измерениях эта система будет, вообще говоря, несовместной. Возникает задача по определению коэффициентов так, чтобы каждое уравнение удовлетворялось приблизительно, но с общей наименьшей погрешностью. Если за меру погрешности принять среднее квадратичное из отклонений величин

 

,

 

от известных величин , т.е. выражение (5.7), то придем к задаче, решенной в § 2.

Пример

В «Основах химии» Д.И. Менделеева приводятся экспериментальные данные о растворимости азотно-кислого натрия в зависимости от температуры воды. В 100 частях воды растворялось следующее число условных

частей при соответствующих температурах

Температура воды	4°	10°	15°	21°	29°	36°
Число условных частей	71,0	76,3	80,6	85,7	92,9	99,4

 

Из теоретических соображений следует, что количественная сторона этого процесса может быть описана уравнением

, (5.14)

где – температура в градусах, – растворимость в условных частях на 100 частей воды, а и – неизвестны. Если подставить в уравнение (5.14) вместо и соответствующие числа из данной таблицы, то получим систему из шести уравнений

,

которая несовместна. В согласии с изложенным в п. 2 введем в рассмотрение 3 вектора

, , ,

а затем вычислим 5 скалярных произведений

, , , ,

.

Система уравнений (5.11) в нашем случае примет вид

,

решив которую получим ; , так что искомая зависимость примет вид

. (5.15)

Если подставить в уравнение значения температуры воды из данной таблицы, то получим числа условных частей

,

что свидетельствует о неплохом совпадении с экспериментальными данными.