Определение метрического пространства

 

Потребности науки и техники потребовали изучения значительно более общего понятия пространства по сравнению с эвклидовым пространством. Ниже мы рассмотрим основные понятия теории метрических пространств, то есть множеств, состоящих из элементов произвольной природы, на которое накладывается только одно требование: должно быть определено понятие расстояния между его элементами, удовлетворяющее некоторым условиям.

Определение. Метрическим пространством называется всякое множество элементов произвольной природы вместе с однозначной, неотрицательной, действительной функцией , определенной для любых элементов и из , удовлетворяющих следующим трем условиям:

1. тогда и только тогда, когда ;

2. аксиома симметрии;

3. для любых трех элементов выполняется неравенство аксиома треугольника.

Определение. Элементы и метрического пространства называют точками, функцию – расстоянием между точками и , а само метрическое пространство, т.е. пару обозначают одной буквой .

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Множество действительных чисел с расстоянием

образует метрическое пространство .

Пример 2. Множество всевозможных наборов из упорядоченных чисел вида , , принимаемых за точки , расстояния между которыми определяется равенством

называется -мерным арифметическим евклидовым пространством .

 

Пример 3. Множество, точками которого является всевозможные последовательности

вещественных чисел, удовлетворяющие условию

,

а расстояние определяется равенством

,

является метрическим пространством, которое обозначают символом .

 

Пример 4. Множество всех непрерывных действительных функций определенных на промежутке , причем расстояние для любых двух элементов и определено по формуле

,

т.е. в этом случае расстояние есть максимальное отклонение одной функции от другой. Это метрическое пространство обозначают символом .

Пример 5. Как и примере 4, рассмотрим множество всех функций непрерывных на , но расстояние определим иначе, а именно, положим

.

Такое метрическое пространство называют пространством непрерывных функций с квадратичной метрикой и обозначают символом .

 

Пример 6. Если для множества функций, рассмотренных в примерах 4 и 5, определять расстояние с помощью равенства

,

то получим метрическое пространство, которое обозначают символом .

Из трех последних примеров следует, что метрические пространства, хотя и состоящие из одних и тех же элементов, но с различными определениями расстояний, следует считать различными.