Малые колебания механических систем

 

Из курса «Теоретическая механика» известно, что положение механической системы с степенями свободы задается с помощью обобщенных координат .

В случае голономных связей уравнения Лагранжа второго рода имеют вид:

, , (7.23)

где – обобщенные силы, а – кинетическая энергия системы, равная половине суммы произведений масс точек системы на квадрат их скоростей, то есть выражается в виде некоторой квадратичной формы относительно обобщенных скоростей

, (7.24)

коэффициенты которой зависят от координат .

Для консервативных действующих сил элементарная работа равна уменьшению потенциальной энергии , которую также можно считать выраженной через обобщенные координаты, при этом

, . (7.25)

Пусть точка означает состояние равновесия рассматриваемой системы. В состоянии равновесия , а тогда кинетическая энергия системы равна нулю и все ее частные производные по также равна нулю, ибо они представляют собой линейные формы от . Отсюда следует, что левые части уравнений Лагранжа обращаются тождественно в нули и величины удовлетворяют уравнениям

, ,

то есть положения равновесия системы возможны только в стационарных точках потенциальной энергии. Можно показать, что точка минимума потенциальной энергии отвечает устойчивому положению равновесия. Рассмотрим такую точку. Без ограничения общности можно считать, что в этой точке и само значение потенциальной энергии также равно нулю. Если ограничиться изучением движения системы в малой окрестности нулевой точки, то коэффициенты квадратичной формы можно считать постоянными, равными своим значениям в нулевой точке. Если потенциальную энергию разложить в ряд Тейлора в окрестности точки по переменным и отбросить члены выше второго порядка, то получим квадратичную форму относительно координат с постоянными коэффициентами (линейные члены относительно будут отсутствовать, так как все частные производные от по в положении равновесия равны нулю), то есть

 

.

 

Так как обе квадратичные формы и являются положительно определенными, то существует линейное преобразование координат в координаты

 

, , ,

 

приводящие квадратичные формы и к виду

 

,

 

.

 

В обобщенных координатах уравнения Лагранжа (7.23) с использованием примут вид

 

, ,

 

решения которых могут быть записаны в виде

 

,

 

где константы и определяются из начальных условий. Величины называются собственными частотами системы. Следовательно, каждая из координат совершает гармонические колебания с собственной частотой .