Определение линейного оператора

 

В общем курсе математического анализа изучаются функции одного или нескольких вещественных переменных. Например, в случае функции трех вещественных переменных можно говорить о функции, аргументом которой является свободный вектор трехмерного пространства. Ниже мы будем изучать функции, аргументом которых будет вектор произвольного линейного пространства. Причем мы рассмотрим простейшие типы таких функций, а именно линейные функции. При этом линейные числовые функции векторного аргумента, т.е. функции, значения которых суть числа называют линейными формами (функционалами), а линейные векторные функции векторного аргумента, значения которых суть векторы называют линейными операторами (отображениями, преобразованиями).

Пусть заданы два различных непустых множества и , элементы которых будем обозначать буквами соответственно и .

Определение 1. Правило (закон), по которому любому элементу ставится в соответствие единственный элемент называется оператором, действующим из в .

Если оператор обозначить буквой , то результат его применения к элементу записывают в виде

.

Множество называется областью определения оператора , элемент при этом называется образом элемента , а сам элемент – прообразом элемента . Совокупность всех образов называется областью значений оператора . Если каждый элемент имеет только один прообраз, то оператор называется взаимно однозначным. Множество элементов , удовлетворяющих равенству , называются ядром оператора .

Будем в дальнейшем под и понимать линейное пространство .

Определение 2. Оператор называется линейным, если для любых дух векторов и из и произвольного числа выполняются условия:

1. (аддитивность);

2. (однородность).

Покажем, что любой линейный оператор можно задать, указав некоторый набор чисел. Действительно, выберем в пространстве некоторый базис и обозначим через произвольный вектор из , а через его образ, то есть

.

Выпишем разложения векторов и по выбранному базису

,

где и координаты векторов соответственно и в базисе . Если подставить первое из последних равенств в правую часть предыдущего равенства и использовать линейность оператора , то получим

.

Векторы принадлежат пространству и, следовательно, в выбранном базисе можем написать

где – координаты вектора в базисе . Подставив последние равенства в правую часть предыдущего равенства и, используя разложение вектора в выбранном базисе, получим

.

Используя единственность разложения вектора в данном базисе, приравняем коэффициенты при базисных векторах в левой и правой частях последнего равенства. При этом получим

(3.1)

Непосредственно из формулы (3.1) видно, что правило перехода от вектора к вектору или от точки к новой точке * полностью определяется квадратной матрицей

, (3.2)

 

составленной из коэффициентов формул (3.1).

 

Определение. Матрица называется матрицей линейного оператора в базисе , а сам этот оператор называют оператором с матрицей в базисе .

Если ввести в рассмотрение одностолбцовую матрицу

 

(3.3)

и вычислить произведение матриц

 

,

 

то получим одностолбцовую матрицу, элементами которой являются суммы, стоящие в правых частях равенств (3.1).

Если же ввести в рассмотрение матрицу

(3.4)

и воспользоваться понятием равенства матриц, то система (3.1) может быть записана в виде

. (3.5)

 

 

Примеры линейных операторов

 

Отметим матричную запись указанных выше свойств линейных операторов линейного пространства:

1. Образ суммы векторов равен сумме образов складываемых векторов. Если и – одностолбцовые матрицы, соответствующие складываемым векторам, то

.

 

2. Если – произвольное число, а – одностолбцовая матрица, соответствующая данному вектору, то

 

.

 

Наибольший интерес представляют такие операторы, при которых для каждого вектора (точки) существует единственный прообраз. Это значит, что уравнение (3.5) должно быть разрешено относительно при любом . Ранее было показано, что это возможно только в том случае, если матрица неособенная. В этом случае можем написать

 

.

 

Если матрица неособенная, то соответствующий линейный оператор является невырожденным. Он преобразует (причем взаимно однозначно) пространство в себя самого, то есть каждая его точка является образом его некоторой единственной точки. Если матрица особенная, то соответствующий линейный оператор является вырожденным. При вырожденном линейном операторе линейное пространство преобразуется в некоторую свою часть.

Примеры линейных операторов

Приведем наиболее известные примеры линейных операторов и соответствующие им матрицы.

1. Поворот плоскости вокруг начала координат на угол против часовой стрелки, так что произвольный вектор перехо­дит в вектор .

Для вывода формул преобразования координат сделаем чертеж (рис.1).

 

Рис. 1

 

2. Обозначим через и соответст­венно координаты векторов и . Непосредственно видно, что

;

.

Учитывая, что и

;

,

получаем формулы преобразования координат

;

,

 

а тогда для матрицы оператора имеем

.

 

3. Растяжение вдоль оси в раз, а вдоль оси , в раз. Формулы преобразования координат в этом случае имеют вид:

4.

а матрица оператора

.

 

 

Рис.2

 

5. Зеркальное отражение относительно оси . В этом случае формулы преобразования имеют вид

матрица оператора

,

а на чертеже (рис.2) произвольной точке будет соответствовать точка .

 

6. Поворот в обычном трехмерном пространстве на угол вокруг оси . Формулы преобразования координат имеют в этом случае следующий вид

 

а матрица оператора

 

.

 

 

7. Тождественный оператор. Так называется оператор, при котором преобразование координат определяется формулами

8.

 

и, следовательно, матрица оператора в любом базисе имеет вид

 

.

 

9. Нулевой оператор. Для всех векторов из имеем

Матрица этого оператора обозначается и состоит из одних нулей, так что

.