Операції над лінійними операторами.

Означення. Оператор S, який кожному вектору х є Vn ставить у відповідність вектор х А+ х В, називається сумою операторів А і В і позначається S=A+B. Це означає, що

"x є Vn (х S =х А+ х В).

Сума лінійних операторів є лінійним оператором.

Властивості додавання лінійних операторів:

1) Асоціативність " А,В,С ((А+В) +С=А+ (В+С));

2) Комутативність " А,В (А+В=В+А);

3) Нульовий оператор О відіграє роль нуля, тобто " А (А+О=О+А=А);

4) Протилежний оператор – А: " А (А+ (-А) = (-А) +А=О).

Отже, множина Vn^* всіх лінійних операторів простору Vn з введеною на ній операцією додавання є адитивною абелевою групою.

Означення. Добутком лінійних операторів А і В називається оператор D, який визначається формулою

" х є Vn (x D =(x A) B) і позначається D=AB.

Ця операція складається з послідовної дії операторів А і В. Операція множення лінійних операторів асоціативна

" А,В,С ((АВ) С = А (ВС)).

В множині операторів виконуються дистрибутивні закони:

" А,В,С ((А+В) С = АС + ВС)

" А,В,С (С (А+В)= СА+СВ).

Отже, множина Vn^* є кільцем.

Означення. Добутком лінійного оператора А на число k називається оператор В, який визначається формулою

" х є Vn k є Р (х В =kx A)

і позначається В =k A.

Добуток лінійного оператора А на число k є лінійним оператором.

Властивості:

1) " А (1 А = А);

2) "k,m є Р " A (k(m A)=(km) A);

3) "k,m є P " A ((k+m) A =k A +m A);

4) "k є P " A,B (k(A+B)=k A +k B).

Отже, множина Vn^* всіх лінійних операторів є лінійним простором V_n над полем Р, утворює лінійну алгебру і векторний простір.

Теорема 5. Алгебра V_n^* лінійних операторів n-мірного векторного простору V_n над полем Р ізоморфна алгебрі М_n матриць n-го порядку над полем Р:

1) матриця суми лінійних операторів в довільно вибраному базисі дорівнює сумі матриць доданків в тому ж базисі;

2) матрця добутку лінійних операторів в довільно вибраному базисі дорівнює добутку матриць-співмножників в тому ж базисі;

3) матриця добутку kA лінійного оператора А на деяке число k в довільно вибраному базисі дорівнює добутку матриці оператора А в тому ж базисі на число k.

§5. Область значень і ядро лінійного оператора.
Ранг і дефект лінійного оператора.

Теорема 6. Образ будь-якого лінійного підпростору U простору V_n відносно довільного лінійного оператора А також є лінійним підпростором простору Vn.

Означення. Сукупність образів всіх векторів простору V_n називається областю значень лінійного оператора А і позначається Іm A.

Область значень Im A є лінійним підпростором простору V_n.

Означення. Розмірність області значень Im А називають рангом лінійного оператора А і позначають Rang A.

Теорема 7. Ранг будь-якого лінійного оператора простору V_n дорівнює рангу матриці цього оператора в довільно вибраному базисі

dim(Im A) =r(A).

Означення. Ядром лінійного оператора А простору V називається сукупність всіх векторів цьoго простору, які відображаються оператором А в нульовий вектор q і позначається Ker A.

Ker A ={xêx є V, x A =q}ÌV

Ker A є лінійним підпростором простору V.

Означення. Розмірність ядра оператораназивається дефектом цього оператора і позначається dim(Ker A).

Теорема 3. Сума рангу і дефекта будь-якого лінійного оператора А простору V дорівнює розмірності n цього простору.

dim(Im A)+dim(Ker A)=dimV

 

 

Інваріантні підпростори. Власні вектори і власні значення лінійного оператора.

Означення. Підпростір U лінійного простору V_n називається інваріантним відносно оператора А, якщо U A ÍU, тобто якщо образ х А довільного вектора х з U міститься в U.

Приклади.

1) V- довільний векторний простір. Кожний підпростір простору V інваріантний відносно тотожнього оператора Е і нульового

оператора О.

2) V- довільний векторний простір, А – лінійний оператор у просторі V. Область значень V A і ядро Ker A оператора А інваріантні підпростори відносно оператора А.

Означення. Вектор а ¹ 0, який задовольняє умові а А = lа, де l є Р, називається власним вектором оператора А, а число l - власним значенням оператора А, яке відповідає власному вектору а.

Теорема 9. Власні вектори а₁,а₂,…,а_m лінійного оператора А, яким відповідають попарно різні власні значення l₁,l₂,…,l_m утворюють лінійно незалежну систему.

 

 

§7. Характеристичне рівняння лінійного оператора.

Нехай А=(а_ij) – деяка матриця n-го порядку над полем Р.

Е – одинична матриця порядку n, l - деяке невідоме, тоді матриця А-lЕ називається характеристичною матрицею матриці А.

А =

Визначник êА-lЕ ê є многочленом n-го степеня від l.

Рівняння êА-lЕ ê=0 називається характеристичним рівнянням матриці А, а його корені називаються характеристичнимим коренями цієї матриці.

Лема. Характеристичні рівняння і характеристичні корені подібних матриць однакові.

Нехай А є лінійним оператором n-мірного простору V_n, а А – матриця цього лінійного оператора в довільно вибраному базисі {e₁,e₂,…,e_n}.

Характеристичне рівняння êА-lЕ ê=0 матриці А називається характеристичним рівнянням оператора А, а його корені - характеристичними коренями оператора А.

Означення. Весь набір характеристичних коренів оператора А називається спектром лінійного опереатора А.

Лінійний оператор А в n-мірному просторі V над полем Р має простий спектр, якщо в полі Р існує n різних характеристичних коренів цього оператора.

Теорема 10. Для того, щоб число k є Р було власним значенням лінійного оператора А, необхідно і достатньо, щоб воно було характеристичним коренем.