Скалярний добуток та евклідові простори.

Означення. В дійсному векторному просторі V_n визначена операція скалярного множення, якщо кожній парі векторів a,b є V_n ставиться у відповідність єдине дійсне число, яке називається скалярним добутком векторів a,b і познaчається символом (a,b), причому виконуються аксіоми скалярного добутку:

1. "a,b є V_n [(a,b)=(b,a)];

2. "a,b є V_n [(a+b,c)=(a,c)+(b,c)];

3. "a,b є V_n "k є R [(ka,b)=k(a,b)];

4. "a є V_n, a¹0 [(a,a)³0].

Властивості скалярного добутку:

1) (а₁+а₂+…+а_n,b)=(a₁,b)+(a₂,b)+…+(a_n,b);

2) (a-b,c)=(a,c)-(b,c);

3) " b є V_n [(0,b)=0];

4) (åk_ia_i,åm_jb_j)=ååk_im_j(a_i,b_j), i=1,…,k, j=1,…,n;

5) (a,a)=0 ó a=0;

6) (q,q)=0.

Означення. Дійсний векторний простір, в якому визначений скалярний добуток, називається евклідовим простором.

Позначається евклідовий простір Е, а евклідовий простір

розмірності n – En.

Приклади евклідових просторів:

1) Множина векторів простору Vn утворює Еn, якщо скалярний добуток векторів а=(а₁,а₂,…,а_n) і b=(b₁,b₂,…,b_n) визначається правилом

(a,b)=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n.

2) Якщо в просторі С[a,b] функцій, неперервних на сегменті [a,b], скалярний добуток х(t) i y(t) визначається правилом

(x(t),y(t))=òx(t)y(t)dt, то множина С[a,b] утворює Еn.

Теорема 1. В будь-якому n-мірному дійсному векторному просторі Vn можна визначити скалярний добуток, тобто простір Vn можна перетворити в евклідовий простір Еn.

 

 

§2. Довжина вектора. Кут між векторами.

Нехай а – будь-який вектор простору Еn.

Означення. Невід’ємне значення квадратного кореня з числа (а,а) називається довжиною або нормою вектора а і позначають êêа êê.

êêа êê=

Властивості норми вектора:

1) êêа êê=0 ó a=0;

2) k є R êêkа êê= k êêа êê.

Теорема 2. (Нерівність Коші-Буняковського)

Для довільних векторів a,b евклідового простору має місце нерівність:

(a,b)² £ êêа êê² êêb êê²

Означення. Кутом між векторами a i b (відмінних від нульових) евклідового простору Е називається таке число j (0<=j<=p), що ê.

Означення. Вектори a i b простору Е називаються ортогональними, якщо (a,b)=0. Для ненульових векторів a,b це рівносильно тому, що кут між а і b дорівнює p/2.

Теорема 3. (Піфагора)

Квадрат довжини суми довільних ортогональних векторів a i b евклідового простору Е дорівнює сумі квадратів доданків:

úúa+búú²=úúaúú²+úúbúú².

Доведення. Нехай a i b довільно вибрані ортогональні вектори в Е. Тоді за означенням довжини вектораúúa+búú²=(a+b,a+b). Але за другою аксіомою скалярного добутку

(a+b,a+b)=(a,a)+(a,b)+(b,a)+(b,b).

А внаслідок ортогональності векторів a i b (a,b)=(b,a)=0.

Таким чином úúa+búú²=(a,a)+(b,b)= úúaúú²+úúbúú².

Теорема 4. (Нерівність трикутника)

Довжина суми будь-яких двох векторів евклідового простору Е не більша, ніж сума довжин доданків: úúa+búú£úúaúú+úúbúú.

Доведення. Нехай a i b довільно вибрані вектори простору Е.

Тоді úúa+búú²=(a+b,a+b)=(a,a)+2(a,b)+(b,b).

Але оскільки за нерівністю Коші-Буняковського

2(a,b) £2úúaúúúúbúú, то

úúa+búú² = (a+b,a+b) £ (a,a)+2(a,b)+(b,b)=úúaúú²+2úúaúúúúbúú+úúbúú² =
=(úúaúú+úúbúú)².

Отже, úúa+búú£úúaúú+úúbúú.

§3. Ортогональний базис.

Теорема 5. Якщо вектор а ортогональний кожному з векторів b₁,b₂,…,b_k, то він ортогональний і будь-якій лінійній комбінації цих векторів åk_ib_i,I=1,…,k.

Означення. Система векторів а₁,а₂,…,а_n називається ортогональною, якщо будь-які її два вектори ортогональні,тобто (а_i,а_j)=0 для i¹j.

Теорема 6. Будь-яка ортогональна система ненульових векторів лінійно незалежна.

Наслідок. Будь-яка ортогональна система n ненульових векторів
n-мірного евклідового простору Е_n є ортогональним базисом цього простору.

Ортонормований базис.

Означення. Вектор а, довжина (норма) якого дорівнює 1, називається нормованим.

Означення. Базис е₁,е₂,…,е_n евклідового простору Еn називається ортонормованим, якщо він ортогональний і всі його вектори нормовані, тобто

(е_i,е_j)=

Наслідок. В кожному евклідовому просторі Е_n існують ортонормовані базиси.