Скалярные поля. Поверхности уровня

Если каждой точке M области многомерного пространства поставлено в соответствие некоторое (обычно — действительное) число u, то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Другими словами, скалярное поле — это функция, отображающая Rn в R (скалярная функция).

Примеры пространственных скалярных полей: температура (подразумевается, что она вообще говоря разная в разных точках пространства); электростатический потенциал; потенциал в ньютоновской теории тяготения; поле давления в жидкой среде.

Пример плоского поля: глубина моря, отмеченная каким-либо образом на плоской карте.

Обычно под скалярным полем понимается поле, инвариантное при преобразованиях координат (иногда, и нередко — при определенном классе преобразований координат, например, при преобразованиях, сохраняющих объем, ортогональных преобразованиях и т. п.; но не менее редко имеется в виду инвариантность скалярного поля при произвольных преобразованиях координат, ограниченных, быть может, только гладкостью). (См. скаляр).

В этом смысле далеко не каждая вещественнозначная функция координат является скалярным полем. Простейший пример: в этом смысле не является скалярным полем одна из координатных компонент векторного поля, так как при изменении выбора координат (например, при повороте координатных осей) она не останется неизменной (то есть не является инвариантом преобразований координат).

Под скалярным полем в современной теоретической физике понимается (также, и в особенности) обычно фундаментальное поле скаляра пространства Минковского (лоренц-инвариантное поле) или поле, инвариантное относительно общекоординатных преобразований, (обычно первое и второе практически совпадает).

Практическими синонимами термина скалярное поле в этом смысле являются термины поле спина ноль частица спина ноль, скалярная частица (последние, всё же несколько разводя эти близкие понятия, называют также возбуждениями скалярного поля).

Экспериментально (пока) не открыто ни одно фундаментальное скалярное поле. Однако такие поля играют немалую роль в теоретических построениях (существуют важные гипотетические скалярные поля, например, поле Хиггса), а также их наличие (наряду с векторными и тензорными полями, понимаемыми в том же смысле и наблюдаемыми реально) необходимо для полноты классификации фундаментальных полей.

Производная по направлению

В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию от n аргументов в окрестности точки Для любого единичного вектора определим производную функции f в точке X0 по направлению e следующим образом

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора e. Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

Градиент скалярного поля

Пусть задано скалярное поле U = f(x, y, z). Градиентом скалярного поля U = f(x, y, z) в точке M(x, y, z) называют вектор

Если функция U = f(x, y, z) имеет частные производные U'x, U'y, U'z в каждой точке некоторой области, то скалярное поле порождает в этой области векторное поле

Обозначает направление наибольшего возрастания функции.