Оператор Гамильтона (набла-оператор). Правила работы с ним

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах оператор набла определяется следующим образом:

Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа

Векторные поля. Векторные линии. Поток векторного поля

Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан векторным полем. Для евклидова пространства векторное поле, заданное на евклидовом пространстве, соответствует полю направлений, где каждой точке пространства сопоставляется некоторая прямая, проходящая через данную точку. Точка пространства, в которой векторное поле равно нулю, называется особой точкой векторного поля, в ней направление не определено.

Циркуляция — интеграл по замкнутому контуру:

Поток векторного поля через поверхность S определяется как интеграл по S:

где Fn — проекция вектора поля на нормаль к поверхности, dS — «векторный элемент поверхности», определяемый, как вектор единичной нормали, умноженный на dS. Простейшим примером этой конструкции является объём жидкости, проходящий через поверхность S, при её течении со скоростью F.

Векторное поле, дивергенция которого всюду равна нулю, называется соленоидальным; оно может быть представлено как ротор некоторого другого векторного поля.

 

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым); оно может быть представлено как градиент некоторого скалярного поля (потенциала).

Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского

Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток).

 

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:

дивергенция — это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции к полю F: divF

Определение дивергенции выглядит так:

где ФF — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю (то есть чтобы вся поверхность находилась в бесконечно малой окрестности данной точки, что нужно, чтобы дивергенция была локальной операцией и для чего очевидно недостаточно стремления к нулю площади поверхности и объема ее внутренности). В обоих случаях подразумевается, что

Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля:

— точка поля является источником;

— точка поля является стоком;

— стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.