Ротор векторного поля. Формула Стокса

Ротор — векторная характеристика вихревой составляющей векторного поля. Это вектор с координатами:

Потенциальные поля. Условие потенциальности поля.

Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля.

В физике, имеющей дело с силовыми полями, математическое условие потенциальности силового поля можно представить как требование равенства нулю работы при перемещении частицы, на которую действует поле, по замкнутому контуру. В качестве потенциала поля в этом случае можно выбрать работу по перемещению пробной частицы из некоторой произвольно выбранной исходной точки в заданную точку (по определению эта работа не зависит от пути перемещения). Например, потенциальными являются статическое электрическое поле, а также гравитационное поле в ньютоновой теории гравитации.

Соленоидальные поля. Условие соленоидальности.

Векторное поле называется соленоидальным, если через любую замкнутую поверхность S его поток равен нулю:

Если это условие выполняется для любых подобластей некоторой области W, то это условие равносильно тому, что равна нулю дивергенция векторного поля

Лапласово поле. Уравнение Лапласа.

 

Криволинейные ортогональные координаты

В евклидовом пространстве особое значение имеет использование ортогональных криволинейных координат, поскольку формулы, имеющие отношение к длине и углам, выглядят в ортогональных координатах проще, нежели в общем случае. Что связано с тем, что метрическая матрица в системах с ортонормированным базисом будет диагональной, что существенно упростит расчёты.
В качестве примера таких систем можно привести сферическую систему в R ²

Коэффициенты Ламэ. Элементы длины кривой, площади поверхности, объема

Коэффициенты Ламе

Выпишем дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде (используется правило суммирования Эйнштейна):

Принимая во внимание ортогональность систем координат ( при ) это выражение можно переписать в виде

где

Положительные величины , зависящие от точки пространства, именуются коэффициентами Ламе или масштабными коэффициентами. Коэффициенты Ламе показывают, сколько единиц длины содержится в единице координат данной точки и используются для преобразования векторов при переходе от одной системы координат к другой.

Тензор римановой метрики, записанный в координатах q_i, представляет из себя диагональную матрицу, на диагонали которой стоя́т квадраты коэффициентов Ламе:

gij = 0 для i ≠ j

, то есть

Градиент, дивергенция и ротор в криволинейных координатах

Градиент

где H_i — коэффициенты Ламе.

Дивергенция

, где H_i — коэффициенты Ламе.

Градиент, дивергенция и ротор в сферических координатах

Градиент

Коэффициенты Ламе:

.

Отсюда:

Дивергенция

Коэффициенты Ламе:

.

Отсюда:

Ротор

где H_i — коэффициенты Ламе.

Градиент, дивергенция и ротор в цилиндрических координатах

Градиент

Коэффициенты Ламе:

Отсюда:

Дивергенция

Коэффициенты Ламе:

.

Отсюда:

Оператор Лапласа в криволинейных координатах

Опера́тор Лапла́са

(лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции он ставит в соответствие функцию .

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя.

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трехмерном пространстве :

где — коэффициенты Ламе.

Аффинное пространство

Аффинное пространство — служит обобщением аффинных свойств евклидова пространства. Во многом схоже с векторным пространством, но в отличие от последнего, точки в аффинном пространстве являются равноправными. В частности в аффинном пространстве нет понятия нулевой точки или начала отсчёта. В аффинном пространстве возможно вычитать друг из друга точки и получать векторы так называемого присоединенного пространства; также возможно прибавлять вектор к точке и получать другую точку, но нельзя складывать точки друг с другом

Определение

Аффинное пространство над полем — множество A со свободным транзитивным действием аддитивной группывекторного пространства V над полем .

Если поле не указывается, то предполагается поле вещественных чисел.

§ Элементы A называются точками аффинного пространства

§ Пространство V называется пространством присоединенным к A

§ Образ действия на обозначается a + v

§ Для двух точек через обозначается такой вектор из V, что

§ Размерность пространства A определяется равной размерности присоединенного пространства V.

28. Преобразования базиса

29. Ковариантный тензор

30. Контрвариантный тензор