Зв’язок між розв’язками неоднорідних і однорідних систем.

Нехай дана система лінійних неоднорідних рівнянь

(2)

Система лінійних однорідних рівнянь

(3)

яка одержується з системи (2) заміною вільних членів нулями, називається зведеною системою для системи (2).

Зв’язок між розв’язками систем (2) і (3):

1. Сума будь-якого розв’язку системи (2) з будь-яким розв’язком зведеної системи (3) знову буде розв’язком системи (2).

2. Різниця будь-яких двох розв’язків системи (2) є розв’язком для зведеної системи (3).

Наслідок. Знайшовши один розв’язок системи лінійних неоднорідних рівнянь (2) і додавши до нього кожний з розв’язків зведеної системи (3), ми одержимо всі розв’язки системи (2).

Приклад.

Знайти загальний та один частинний розв’язок системи лінійних рівнянь:

Знайдемо загальний розв’язок відповідної однорідної системи рівнянь.

Загальний розв’язок СЛОР (-1/4x₄-13/4x₅, -3/4x₄-11/4x₅, 0,x₄,x₅),

x₄,x₅ є R.

Частинний розв’язок СЛР (1,1,0,0,0).

Загальний розв’язок СЛР (1-1/4x₄-13/4x₅, 1-3/4x₄-11/4x₅, 0,x₄,x₅),

x₄,x₅ є R.

 

 

Лінійний многовид.

Означення. Нехай V¢ – підпростір лінійного простору V, а х₀ – деякий вектор з V. Множина Р всіх векторів х=х₀+y, де y – будь-який вектор підпростору V¢, називається лінійним многовидом простору V.

Лінійний многовид Р утворюється шляхом зсуву підпростору V¢ на вектор х.

Означення. Розмірністю многовиду Р називається розмірність того підпростору V¢, зсувом якого було одержано цей многовид.

Теорема 8. Множина розв’язків СЛР є лінійним многовидом, одержаним шляхом зсуву підпростору V¢ розв’язків відповідної СЛОР на вектор х₀, де х₀ – один довільно вибраний і фіксований розв’язок СЛР.

"х є Р (Р=х₀+V={x₀+aïa є V})

Приклад.

Побудувати лінійний многовид Р розв’язків такої СЛР:

Загальний розв’язок СЛР (х₁,х₂,-3х₁-4х₂+1,1).

Загальний розв’язок СЛОР (х₁,х₂,-3х₁-4х₂,0).

X1	X2	X3	X4
		-3
		-4

L¢((1,0,-3,0),(0,1,-4,0)), Р=(0,0,1,1)+L¢((1,0,-3,0),(0,1,-4,0)).

 

 

Розділ 2. Матриці та дії над матрицями.

Матриці.

Означення. Матрицею називається прямокутна таблиця, яка складається з елементів даного поля.

Загальний вигляд матриці:

A = = (а_ij), А = (a₁,a₂,…,a_n), В =

де а_ij,а_i ,b_j - елементи матриці.

Якщо в матриці А кількість рядків дорівнює кількості стовпців, тобто m=n, то вона називається квадратною матрицею n-го порядку; якщо ж m¹n, то матриця називається прямокутною матрицею розміру m*n. Головною діагоналлю квадратної матриці n-го порядку називається діагональ, яка йде від лівого верхнього кута до нижнього правого, тобто яка складається з елементів а₁₁,а₂₂,…,а_nn.

Означення. Квадратна матриця D=(d_ij) n-го порядку називається діагональною, якщо всі її елементи, які не належать головній діагоналі, дорівнюють нулю:

"i, j (i¹ j => d_ij=0).

Елемент головної дігоналі матриці називають i-им дігональним елементом.

Діагональна матриця називається скалярною, якщо елементи її головної діагоналі рівні між собою. Діагональна матриця: D =

Скалярна матриця: K =

Частинним випадком скалярної матриці є одинична E і нульова O:

E = q =

Дві матриці називаються рівними, якщо рівні відповідні їх елементи.

Від матриці А можна перейти до матриці А¢:

A¢ =

в якій рядки є стовпцями, а стовпці – рядками матриці А. Перехід від матриці А до матриці A¢ називається транспонуванням матриці А, а матриця А¢ називається транспонованою для матриці А. Якщо матриця
А – квадратна, то її транспонування – це заміна кожного рядка матриці на відповідний стовпчик.

Якщо А – довільна квадратна матриця і A¢=A,

то А називається симетричною; якщо A¢=-А,

то А - кососиметрична.

Квадратна матриця ортогональна, якщо АА¢=A¢A=E.

Матриця називається ідемпотентною, якщо А²=А.

 

Дії з матрицями.

Означення. Нехай дано матриці А=(а_ij)_m*n, В=(b_ij)_m*n над полем Р. Матриця (а_ij+b_ij)_m*n називається сумою матриць А і В і позначається А+В; при цьому матриці А,В називаються доданками. Операція, яка матрицям А і В ставить у відповідність матрицю А+В називається сумою матриць. А+В=(а_ij+b_ij)

Властивості додавання матриць:

1) Операція додавання матриць комутативна, тобто для А=(а_ij)_m*n, В=(b_ij)_m*n однакового розміру А+В=В+А;

2) Операція додавання матриць асоціативна, тобто А=(а_ij)_m*n, В=(b_ij)_m*n, С=(с_ij)_m*n однакового розміру (А+В)+С=А+(В+С);

3) В множині матриць А даного розміру існує одна матриця О, яка є нейтральним елементом відносно операції додавання матриць, тобто така, що "А A+О=О+A=A, її називають нульовою матрицею;

4) В множині матриць даного розміру для кожної матриці А існує єдина протилежна матриця А¢¢, тобто така, що A+A¢¢=A+A¢¢=O.

Приклад. Дано матриці А і В. Знайти А+В і В+А і порівняти їх.

A = B =

A+B =

B+A =

Отже, А+В=В+А.

Приклад. Дано матриці А і В. Знайти А+В.

А = B =

Сума матриць А+В, В+А не існує, оскільки матриці різної розмірності.

Умови існування суми матриць: матриці повинні бути однакового розміру.

Означення. Нехай дана матриця А=(а_ij)_m*n над полем Р і елемент k є Р. Добутком матриці А на елемент k називається матриця (kа_ij)_m*n, яка позначається kA.

Властивості множення матриці на скаляр:

1) Операція множення матриці на скаляр асоціативна в тому розумінні, що для довільної матриці А і чисел k,l є Р:

k(lA)=(kl)A=klA;

2)Операція множення матриці на скаляр дистрибутивна відносно додавання матриць і відносно додавання скалярів, тобто

"A "k,l є Р (k+l)A=kA+lA

"A,B "k є Р k(A+B)=kA+kB,

де А і В однакового розміру.

Приклад. Дано матриці А і В, скаляри k,l. Знайти (k+l)A,k(A+B).

A = B = k=2, m=-1

(k+m)A = (2-1)

k(A+B) = 2 + = 2

Означення. Дано матриці А=(а_ij)_m*n і В=(b_sk)_n*l, які належать полю Р. Матриця (с_pq)_m*l, де с_pq=a_p1b_1q+a_p2b_2q+…+a_pnb_nq

називається добутком матриці А на матрицю В і позначається АВ. При цьому матриця А називається лівим множником, матриця В – правим множником. Операція, яка матрицям А і В ставить у відповідність матрицю АВ, називається множенням матриць.

Отже, АВ=(с_pq), де с_pq=a_p1b_1q+a_p2b_2q+…+a_pnb_nq,

тобто с_pq є сумою добутків відповідних елементів р-го рядка і q-го стовпчика.

Зауваження. Добуток мартиць існує тоді і лише тоді, коли кількість стовпчиків першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці.

Властивості множення матриць:

1) Операція множення матриць в загальному випадку некомутативна. Але існують такі матриці А,В, що АВ=ВА.

Наприклад, АЕ=ЕА=А, АО=ОА=О. Якщо матриці А і В задовольняють умову АВ=ВА, то такі матриці є перестановочними або комутативними. Комутативними є лише квадратні матриці.

2) Операція множення асоціативна, тобто

"А,В,С (АВ)С=А(ВС)

3) Асоціативність множення матриці на матрицю і на скаляр

"А,В "k,l є Р (kA)B=k(AB)

A(kB)=(Ak)B=(kA)B

4) В множині квадратних матриці n-го порядку існує єдина матриця E, яка є нейтральним елементом відносно операції множення матриць, тобто така, що "А (AE=EA=A)

Для множини прямокутних матриць А розміром m*n можна говорити про існування односторонніх нейтральних елементів, тобто таких матриць В і С, що "А (АВ=СА=А).

Операції додавання і множення матриць А і В одночасно можна виконувати лише тоді, коли А і В – квадратні матриці одного порядку.

В множині квадратних матриць n-го порядку мають місце дистрибутивні закони (правий і лівий) множення відносно додавання:

"А,В,С- n-го порядку (А+В)С=АС+ВС

С(А+В)=СА+СВ.

З сказаного вище слідує, що множина всіх квадратних матриць n-го порядку над полем Р є кільцем з одиницею відносно операцій додавання і множення матриць (некомутативне кільце). Позначається М_n=<Mat (R),+,*>.