Лінійна залежність векторів.

Означення. Вектор b з простору Vn називається пропорційним вектору a з цього ж простору, якщо існує таке число k таке, що b=ka.

Нульовий вектор q=(0,0,…,0) пропорційний будь-якому вектору а=(а₁,а₂,…,а_n) тому, що q = 0*а.

Нехай а₁,а₂,…,а_m (1) довільна система векторів з простору.

Означення. Вектор b є Vn називається лінійною комбінацією векторів а₁,а₂,…,а_m, якщо існують такі числа k₁,k₂,…,k_m, що

b=k₁a₁+k₂a₂+…+k_ma_m (2)

Числа k₁,k₂,…,k_n називаються коефіцієнтами цієї лінійної комбінації.

Нульовий вектор q=(0,0,…,0) є лінійною комбінацією векторів будь-якої системи, оскільки q=0*а₁+0*а₂+…+0*а_m.

Означення. Система векторів а₁,а₂,…,а_m простору Vn називається лінійно залежною, якщо існують такі числа k₁,k₂,…,k_m не всі рівні нулю і

k₁a₁ +k₂a₂+…+k_ma_m=0. (*)

Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність (*)виконується лише при k₁ = k₂ = …= k_m = 0.

Приклади.

1) З’ясувати лінійно залежною чи лінійно незалежною є система векторів

a₁=(1,-2,-3), а₂=(2,3,4), а₃=(3,5,7).

Запишемо рівняння (*) k₁a₁+k₂a₂+k₃a₃=0. Звідси одержимо систему

Розв’яжемо її методом Гауса

=> x₁=x₂=x₃=0.

Отже, система векторів є лінійно незалежною.

2)а₁ = (1,2sinA,tgA,2cosA)

a₂ = (ctgA,2cosA,1,0)

a₃ = (cosA,sin2A,sinA,1+cos2A),

a₄ = (tgA,1,0,2sinA).

Аналогічно попереднім міркуванням маємо:

k₄ = 0, k₂ = tgA/2/(1-2sinAtgA)k₃

Отже, існує k₂¹0, а рівняння (*) виконується. Отже, система лінійно залежна.

Теорема 1. (ознака лінійної залежності системи)

Система векторів (1) лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів цієї системи є лінійною комбінацією інших її векторів.

Наслідок 1. Будь-яка система векторів, яка містить нульовий вектор, лінійно залежна.

Наслідок 2. Якщо в системі є пропорційні (колінеарні) вектори, то система лінійно залежна.

Теорема 2. Якщо система векторів а₁,а₂,…,а_m лінійно незалежна, а система векторів а₁,а₂,…,а_m,b лінійно залежна, то вектор b є лінійною комбінацією векторів а₁,а₂,…,а_m.

Означення. Множина, яка складається з будь-яких k (k£m) векторів системи (1) називається підсистемою цієї системи.

Теорема 3. Якщо деяка підсистема системи векторів (1) лінійно залежна, то і система (1) лінійно залежна.

Наслідок. Якщо система векторів (1) лінійно незалежна, то і будь-яка її підсистема теж лінійно незалежна.

Теорема 4. Будь-які s векторів арифметичного n-мірного простору складають при s>n лінійно залежну систему.

 

 

§6. Базис і ранг скінченної системи векторів
векторного простору.

Нехай а₁,а₂,…,а_m (3) –довільна система векторів простору Vn і а_i1,а_i2,…,а_in (4) –деяка лінійно незалежна підсистема цієї системи.

Означення. Лінійно незалежна підсистема (4) системи векторів (3) називається базисом системи (3), якщо кожний вектор системи (3) є лінійною комбінацією векторів цієї підсистеми.

Теорема 6. Два різних базиса однієї і тієї ж системи векторів містять однакову кількість векторів.

Наприклад за базис V₃ можна взяти систему е₁=(1,0,0), е₂=(0,1,0), е₃=(0,0,1) або а₁=(1,2,-2), а₂=(0,-1,3), а₃=(0,-2,4).

Але система b₁=(1,-2,-3), b₂=(1/2,-1,-3/2), b₃=(4,5,6) не є базисом так, як вона містить пропорційні рядки, тобто є лінійно залежною.

Означення. Кількість векторів, які входять в будь-який базис даної системи векторів, називається рангом цієї системи.

Ранг системи векторів – це максимальне число лінійно незалежних векторів системи.

Приклад.

1) Знайти один з базисів системи векторів і виразити всі її вектори, що не входять до знайденого базису, через цей базис:

а₁ = (4,1,2), а₂ = (1,0,3), а₃ = (2,3,-5), а₄ = (1,1,6).

Складемо матрицю, рядками якої є дані вектори і зведемо її до діагонального виду

При елементарних перетвореннях координати вектора а перетворилися в 0, тому базисом даної системи векторів є вектори а₂,а₃,а₄.

Виразимо вектор а₁ через базис: а₁=k₁a₂+k₂a₃+k₃a₄, де k_i невідомі коефіцієнти. Складемо матрицю даного рівняння:

Одержимо систему

Отже, а₁=21/4a₂+13/20a₃-19/20a₄.

Іншим базисом даної системи векторів є вектори а₁,а₂,а₃.

Означення. Системою твірних називається система векторів а₁,а₂,…,а_n множини векторів лінійного простору, якщо будь-який вектор з цієї множини можна лінійно виразити через скінченне число векторів а₁,а₂,…,а_n:

a₁,а₂,…,а_n – система твірних º "а_i (а_i=k₁a₁+k₂a₂+…+k_na_n).

Ознака лінійної залежності системи векторів - cистема векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли знайдеться вектор в цій системі, який є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи:

a₁,а₂,…,а_n – лінійно залежна ó $a_i (a_i=k₁a₁+k₂a₂+…+k_na_n).

Означення. Лінійно незалежна система твірних називається базисом векторного простору.

Ознака базису: базис – максимально лінійно незалежна система векторів. Максимальна в тому розумінні, що якщо до неї приєднати ще один вектор, то вона стане лінійно залежною.

Теорема. Кількість векторів в довільному базисі скінченно вимірного простору є інваріантом цього простору (одна і та ж для простору), а розмірність простору дорівнює кількості векторів в базисі цього простору.

Наприклад, система з 5 лінійно незалежних векторів утворює базис, а система з 6 векторів є лінійно залежною і базис на утворює.

 

§7. Однорідні системи лінійних рівнянь.
Фундаментальна система розв’язків однорідної системи.

Лінійне рівняння а₁х₁+а₂х₂+…+а_nх_n=b називається однорідним, якщо його вільний член b дорівнює нулю.

Систему лінійних рівнянь, в якій всі вільні члени дорівнюють нулю, називають однорідною системою лінійних рівнянь (СЛОР).

Загальний вигляд СЛОР:

(1)

Будь-яка однорідна лінійна система сумісна. Вона завжди має розв’язок х=(0,0,…,0)- нульовий (тривіальний) розв’язок. Будь-який розв’язок СЛОР, відмінний від нульового називають ненульовим (нетривіальним) розв’язком. Насправді, не будь-яка СЛОР має ненульові розв’язки.

Теорема. (достатня умова існування ненульових розв’язків СЛОР)

Однорідна система лінійних рівнянь, в якій кількість рівнянь менша кількості невідомих, має ненульові розв’язки.

Розв’язки СЛОР мають такі властивості:

1) Якщо вектор b=(b₁,b₂,…,b_n) є розв’язком системи (1), то при довільному числі k вектор kb=(kb₁,kb₂,…,kb_n) також буде розв’язком цієї системи.

2) Будь-яка лінійна комбінація розв’язків однорідної системи (1) сама буде розв’язком цієї системи.

Розглянемо множину L розв’язків СЛОР. Нехай а=(а₁,а₂,…,а_n) і b=(b₁,b₂,…,b_n) є розв’язками СЛОР. Покажемо, що множина розв’язків СЛОР утворює підпростір V_n, тобто, що виконуються такі умови:

1) a+b=(а₁+b₁,а₂+b₂,…,а₃+b_n);

2) ka=(kа₁,kа₂,…,kа_n).

Вектори a+b i ka є розв’зками СЛОР за властивістю розв’язків СЛОР.

Отже, множина розв’язків СЛОР утворює підпростір V_n.

У випадку неоднорідної системи така властивість місця не має.

Теорема 7. (про розмірність простору розв’язків СЛОР)

Розмірність простору розв’язків СЛОР дорівнює різниці кількості змінних n і рангу основної матриці системи r.

dimL=n-r

Означення. Будь-яка лінійно незалежна система векторів однорідної системи лінійних рівнянь, через яку лінійно виражається довільний розв’язок цієї системи, називається її фундаментальною системою розв’язків.

Іншими словами базис простору розв’язків СЛОР називається фундаментальною системою розв’язків.

Приклад.

1) Побудувати простір розв’язків СЛОР:

Загальний розв’язок системи х=(х₄,х₄,-х₄,х₄),х₄ є R.

Знайдемо фундаментальну систему розв’язків ФСР. Для цього вільним змінним надамо довільних значень. Зауважимо, що не можна всім вільним змінним одночасно надавати значення 0, бо нуль-вектор не може належати до базиса простору розв’язків СЛОР. Надамо змінній х₄ значення 1, одержимо один вектор ФСР а=(1,1,-1,1).

Знаючи базис простору розв’язків можна записати L={bïb=ka, k є R}.

2) Побудувати простір розв’язків СЛОР:

х₁=х₂=х₃=х₄=0. Так як розв’язком СЛОР є лише нульовий вектор, то ФСР не існує.

3) Побудувати простір розв’язків СЛОР:

Загальний розв’язок системи (8х₃-7х₄,-х₃+5х₄,х₃,х₄),х₃,x₄єR.

Для знаходження базису простору складемо табличку

X1	X2	X3	X4
	-6
-7

 

Фундаментальна система розв’язків: а₁=(8,-6,1,0), а₂=(-7,5,0,1).

Знаючи базис простору розв’язків можна записати

L={bïb=k₁a₁+k₂a₂, k₁,k₂ є R}.