Математика. Елементи лінійної алгебри

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Математика. Елементи лінійної алгебри

 

Визначники

1. Визначники другого і третього порядків та їхні властивості

2. Розклад визначника за елементами рядка або стовпця
3. Поняття про визначники вищих порядків

Матриці

1. Основні означення

2. Дії над матрицями

3. Обернена матриця

4. Ранг матриці

Системи лінійних рівнянь

1. Основні означення

2. Розв'язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера.

3. Матричний запис системи лінійних рівнянь і її розв'язування

4. Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса

5. Однорідна система лінійних рівнянь

6. Критерій сумісності системи лінійних рівнянь

Елементи векторної алгебри

 

Вектори і лінійні дії з ними

1. Скалярні і векторні величини

2. Лінійні дії з векторами

3. Розклад вектора за базисом

4. Проекція вектора на вісь

Системи координат

1. Декартова система координат

2. Прямокутна система координат

3. Полярна система координат

4. Перетворення прямокутних координат на площині

5. Циліндрична та сферична системи координат

6. Поняття про n-вимірний простір

7. Лінійна залежність векторів

Вектори в системі координат

1. Координати, довжина і напрямні косинуси вектора

2. Лінійні дії з векторами. Рівність і колінеарність векторів

3. Поділ відрізка в даному відношенні. Координати центра мас

Скалярний добуток двох векторів

Означення, геометричний та механічний зміст скалярного добутку

2. Властивості скалярного добутку

3. Вираз скалярного добутку через координати. Кут між векторами

Векторний добуток двох векторів

1. Означення і властивості векторного добутку

2. Векторний добуток двох векторів, заданих координатами

Мішаний добуток векторів

1. Означення і обчислення мішаного добутку

2. Властивості мішаного добутку

Елементи аналітичної геометрії

 

Пряма на площині

1. Різні види рівнянь прямої на площині

2. Загальне рівняння прямої та його дослідження

3. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох
прямих

4. Відстань від точки до прямої

Площина в просторі

1. Загальне рівняння площини та його дослідження

2. Рівняння площини, що проходить через три точки. Рівняння площини у відрізках на осях

3. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин

4. Відстань від точки до площини

Пряма лінія в просторі

1. Різні види рівнянь прямої в просторі

2. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності прямих

3. Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини

Лінії другого порядку

1. Поняття лінії другого порядку

2. Коло

3. Еліпс

4. Гіпербола

5. Парабола

 

Вступ до математичного аналізу

 

Дійсні числа

1. Множини. Логічні символи

2. Множина дійсних чисел

3. Числові проміжки. Окіл точки

4. Модуль (абсолютна величина) дійсного числа

Функція

1. Сталі і змінні величини

2. Поняття функції

3. Способи задання функцій

4. Класифікація елементарних функцій

5. Обмежені функції

6. Монотонні функції

7. Парні і непарні функції

8. Періодичні функції

9. Неявно задані функції

10. Обернені функції

11. Параметрично задані функції

Границя функції

1. Числова послідовність

2. Границя числової послідовності. Границя змінної величини. Єдиність границі

3. Нескінченно великі змінні величини

4. Границя функції в точці

5. Границя функції при . Нескінченно велика функція

6. Нескінченно малі величини, їхні властивості

7. Основні теореми про границі

Обчислення границь функцій

1. Перша важлива границя

2. Число е. Натуральні логарифми

3. Друга важлива границя

4. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції

5. Розкриття деяких невизначеностей

Неперервність функції

1. Неперервність функції в точці. Точки розриву

2. Дії над неперервними функціями. Неперервність елементарних функцій

3. Властивості функцій, неперервних на відрізку

Диференціальне числення функцій однієї змінної

Похідна

1. Задачі, які приводять до поняття похідної

2. Означення похідної. Механічний, фізичний та геометричний зміст похідної

3. Односторонні похідні. Неперервність і диференційовність

Диференціювання функцій

1. Правила диференціювання суми, різниці, добутку і частки

2. Похідні сталої, добутку сталої на функцію, степеневої, тригонометрич­них, показникової і логарифмічної функцій

3. Похідна складеної функції

4. Гіперболічні функції та їхні похідні

5. Похідна оберненої функції. Диференціювання обернених тригонометричних функцій

6. Похідна функції, заданої параметрично

7. Диференціювання неявно заданої функції

8. Логарифмічне диференціювання. Похідна показниково-степеневої функції

Диференціал

1. Означення, геометричний та механічний зміст диференціала

2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала

3. Застосування диференціала в наближених обчисленнях

Похідні та диференціали вищих порядків

1. Похідні вищих порядків явно заданої функції

2. Похідні вищих порядків неявно заданої функції

3. Похідні вищих порядків параметрично заданої функції

4. Диференціали вищих порядків

Деякі теореми диференціального числення

1. Теореми Ферма і Ролля

2. Теореми Коші і Лангранжа

3. Правило Лопіталя

4. Формула Тейлора

Визначений інтеграл

1. Задачі, що приводять до визначеного інтеграла

2. Означення та умови існування визначеного інтеграла

3. Властивості визначеного інтеграла

4. Інтеграл із змінною верхньою межею. Формула Ньютона — Лейбніца

5. Методи обчислення визначених інтегралів

6. Невласні інтеграли

Ряди

 

Числові ряди

1. Основні поняття та означення. Геометрична прогресія. Гармонічний ряд

2. Найпростіші властивості числових рядів

3. Знакододатні ряди. Достатні ознаки збіжності 498

4. Ряди, в яких знаки членів строго чергуються. Ознака Лейбніца 505

5. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжності 507

6. Поняття про числові ряди з комплексними членами

Степеневі ряди

1. Функціональні ряди. Поняття рівномірної збіжності. Ознака Вейєрштрасса...................................................... 512

2. Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля. Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду

3. Властивості степеневих рядів 519

4. Ряд Тейлора 521

5. Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена

6. Наближені обчислення за допомогою степеневих рядів

7. Поняття про степеневі ряди в комплексній області. Формули Ейлера

Ряди Фур'є

1. Тригонометричний ряд Фур’є. Коефіцієнти Фур’є

2. Ряд Фур’є для парних і непарних функцій

3. Ряд Фур’є для 2l -періодичних функцій

4. Ряд Фур’є для функцій, заданих на відрізку [0, l ] або на відрізку [ a; b ]

5. Комплексна форма ряду Фур’є

Інтеграл та перетворення Фур'є 557

1. Інтеграл Фур'є

2. Інтеграл Фур'є для парних і непарних функцій

3. Інтеграл Фур'є в комплексній формі. Перетворення Фур'є

 

Кратні, криволінійні інтеграли

 

Подвійний інтеграл

1. Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла

2. Поняття подвійного інтеграла. Умови його існування та властивості

3. Обчислення подвійного інтеграла

4. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних
координатах

Криволінійні інтеграли

1. Поняття криволінійного інтеграла першого роду (по довжині дуги)

2. Обчислення криволінійних інтегралів першого роду

3. Поняття криволінійного інтеграла другого роду (по координатах)

4. Обчислення та застосування криволінійного інтеграла другого роду

5. Зв’язок між криволінійними інтегралами першого та другого роду

ФІЗИКА

Механіка

1. Кінематичний опис руху тіла. Різні види рухів тіла.

2. Поняття швидкості і прискорення в кінематиці. Закон додавання швидкостей.

3. Рівномірний, рівноприскорений та рівносповільнений прямолінійні рухи. Основні кінематичні величини, які описують ці рухи.

4. Прискорення тіла при вільному падінні в гравітаційному полі Землі, його залежність від висоти.

5. Рух по колу зі сталою за модулем швидкістю. Період і частота обертання. Доцентрове прискорення.

6. Перший, другий та третій закон Ньютона. Принцип відносності Галілея.

7. Рух тіл під дією сили тяжіння із початковою швидкістю. Рух штучних супутників Землі. Розрахунок першої космічної швидкості.

8. Сили пружності. Закон Гука. Сили тертя, коефіцієнт тертя ковзання.

9. Гравітаційні сили. Закон всесвітнього тяжіння. Вага тіла. Невагомість.

10. Центр мас тіла. Момент сили. Умова рівноваги твердого тіла.

11. Імпульс тіла. Закон збереження імпульсу. Реактивний рух. Внесок українських вчених у розвиток космонавтики (Ю.В.Кондратюк, С.П.Корольов). Значення робіт К.Е.Ціолковського для космонавтики.

12. Механічна робота. Потужність. Кінетична енергія. Теорема про кінетичну енергію.

13. Потенціальна енергія. Робота сили тяжіння, сили пружності і сили тертя. Закон збереження енергії в механічних процесах.

14. Атмосферний тиск. Зміна атмосферного тиску з висотою. Архімедова сила для рідин і газів. Умови плавання тіл.

 

Молекулярна фізика

15. Дослідне обгрунтування основних положень молекулярно-кінетичної теорії. Маса і розміри молекул. Стала Aвогадро. Броунівський рух. Взаємодія атомів і молекул речовин у різних агрегатних станах.

16. Ідеальний газ. Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу.

17. Температура та її вимірювання. Абсолютна шкала. Швидкість молекул газу. Рівняння стану ідеального газу. Універсальна газова стала.

18. Ізотермічний, ізобарний та ізохорний процеси. Закони, що описують ці процеси.

19. Внутрішня енергія тіла і способи її зміни. Кількість теплоти. Згоряння палива. Питома теплота згоряння.

20. Нагрівання та охолодження речовин. Питома теплоємність. Плавлення та кристалізація. Питома теплота плавлення. Випаровування та конденсація (питома теплота пароутворення). Рівняння теплового балансу.

21. Робота газу в термодинаміці. Внутрішня енергія ідеального газу. Перший закон термодинаміки (закон збереження енергії в теплових процесах).

22. Застосування першого закону термодинаміки до ізопроцесів. Адіабатичний процес.

23. Необоротність теплових процесів. Принцип дії теплових двигунів. Коефіцієнт корисної дії теплового двигуна та йогг максимальне значення. Теплові двигуни і охорона природи.

24. Випаровування та конденсація. Насичена та ненасичена пара. Кипіння. Залежність температури кипіння рідини від тиску. Вологість повітря. Вимірювання вологості повітря.

25. Поверхневий натяг рідин. Сила поверхневого натягу. Змочування. Капілярні явища.

26. Кристалічні та аморфні тіла. Види деформації. Закон Гука для деформованих твердих тіл. Механічні властивості твердих тіл.

 

Електрика і магнетизм

27. Електризація тіл. Закон збереження електричного заряду. Точковий і розподілений заряди. Закон Кулона.

28. Електричне поле. Напруженість електричного поля. Електричне поле точкового заряду. Принцип суперпозиції полів.

29. Потік напруженості електричного поля. Теорема Остроградського-Гауса та її застосування для розрахунку електричних полів.

30. Провідники в електричному полі. Електростатичний захист. Розподіл зарядів на поверхні зарядженого провідника. Ємність відокремленого провідника.

31. Діелектрики в електричному полі. Діелектрична проникливість. Механізм поляризації діелектриків. Сегнетоелектрики.

32. Робота елктростатичного поля при переміщенні заряду. Потенціал електростатичного поля. Різниця потенціалів. Зв′язок напруженості електростатичного поля з напругою.

33. Електроємність. Конденсатори. Ємність плоского конденсатора. Енергія електричного поля.

34. Електричний струм. Сила струму. Закон Ома для ділянки кола. Опір провідників. Послідовне та паралельне з′єднання провідників.

35. Розгалужені електричні кола. Правила Кірхгофа. Розрахунки розгалужених кіл згідно правил Кірхгофа.

36. Електрорушійна сила. Закон Ома для повного кола. Робота і потужність струму.

37. Основні положення електронної провідності металів. Залежність опору провідників від температури. Надпровідність.

38. Електричний струм у газах. Самостійний і несамостійний розряди. Поняття про плазму.

39. Електронна емісія. Двохелектродна лампа. Вольт-амперна характеристика діода. Електронно-променева трубка.

40. Електричний струм у розчинах і розплавах електролітів. Закони електролізу. Застосування електролізу в техніці.

41. Напівпровідники. Електропровідність напівпровідників та її залежність від температури і освітленості. Власна та домішкова провідності напівпровідників.

42. Р-n перехід. Напівпровідниковий діод. Транзистор. Використання їх у техніці.

43. Магнітна взаємодія струмів. Магнітне поле. Індукція магнітного поля. Сила, що діє на провідник зі струмом в магнітному полі. Закон Ампера.

44. Дія магнітного поля на рухомі заряди. Сила Лоренца.

45. Рух електричних зарядів в електричному та магнітному полях. Прискорювачі заряджених частинок. Ефект Холла.

46. Магнітні властивості речовин. Магнітна проникливість. Феромагнетизм. Магнітний запас інформації.

47. Магнітний потік. Електромагнітна індукція. Закон електромагнітної індукції. Правило Ленца.

48. Явище самоіндукції. Індуктивність котушки. Енергія магнітного поля.

 

Коливання і хвилі

49. Гармонійні коливання. Період, частота, амплітуда і фаза гармонічних коливань. Приклади гармонічних коливань.

50. Перетворення енергії при гармонічних коливаннях. Вільні і вимушені коливання. Резонанс.

51. Поширення коливань у пружному середовищі. Поперечні та поздовжні хвилі. Довжина хвилі. Зв′язок довжини хвилі із швидкістю її поширення.

52. Звукові хвилі. Швидкість поширення звуку. Гучність звуку та висота тону. Інфра- та ультра звуки. Акустика. Луна.

53. Вільні електромагнітні коливання в контурі. Перетворення енергії в коливальному контурі. Власна частота коливань у контурі. Формула Томсона.

54. ЕРС індукції в рухомих провідниках в магнітному полі.

55. Змінний електричний струм. Діючі значення напруги і сили струму.

56. Активний, ємнісний та індуктивний опори в колі змінного струму.

57. Закон Ома для електричного кола змінного струму. Електричний резонанс.

58. Виробництво електроенергії. Принципи роботи генераторів постійного і змінного струмів.

59. Трансформатор. Робота трансформатора. Передача елктроенергії на великі віддалі.

60. Електромагнітні хвилі. Швидкість їх поширення. Властивості електромагнітних хвиль. Шкала електромагнітних хвиль.

61. Вимірювання та прийом електромагнітних хвиль. Принцип радіозв′язку. Винахід радіо О.С. Поповим.

Список літератури

Основна

1. Жданов Л.С., Жданов Г.Л. Фізика. Підручник для середніх спеціальних навчальних закладів. – К.: Высшая школа, 1983.

2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. – Курс физики. –М.: Высшая школа. 2001р.

3. Трофимова Т.М. Курс физики. - М.: Высшая школа. 1991р.

4. Беликов Б.С. Решение задач по физике. Общие методы. - М.: Высшая школа. 1986р.

5. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика.– К.: Видавництво А.С.К., 2004.– 648 с.

6. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Збірник задач. – К.: Видавництво А.С.К., 2004.

7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов:В Зт.–М.: Наука, 1985. Т. 1–3.

Додаткова

1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики.- М: Наука. 1982.

2. Гельфгат І.М. та ін. Збірник різнорівневих завдань для державної підсумкової атестації з фізики. – Харків: Гімназія, 2003. – 80 с.

3. Шкіль М.І., Колесник Т.В. Вища математика.– К.: Вища школа, 1985.– 512 с.

4. Щипачёв В.С. Высшая математика.– М.: Высшая школа, 1991.– 479 с.

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Математика. Елементи лінійної алгебри

 

Визначники

1. Визначники другого і третього порядків та їхні властивості

2. Розклад визначника за елементами рядка або стовпця
3. Поняття про визначники вищих порядків

Матриці

1. Основні означення

2. Дії над матрицями

3. Обернена матриця

4. Ранг матриці

Системи лінійних рівнянь

1. Основні означення

2. Розв'язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера.

3. Матричний запис системи лінійних рівнянь і її розв'язування

4. Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса

5. Однорідна система лінійних рівнянь

6. Критерій сумісності системи лінійних рівнянь

Елементи векторної алгебри