Поняття системи лінійних рівнянь і її розвязків.

Лінійним рівнянням з n невідомими називається рівняння виду а₁х₁+а₂х₂+…+а_nх_n=b, (1), де х₁,х₂,…,х_n - невідомі, а₁,а₂,…,а_n - деякі числа з деякого числового поля Р. Числа а₁,а₂,…,а_n називають коефіцієнтами рівняння (1), а число b - вільним членом цього рівняння.

Рівняння виду 0*х₁+0*х₂+…+0*х_n=0 називається невизначенним.

Рівняння виду 0*х₁+0*х₂+…+0*х_n =b, b¹0 називається суперечливим.

Означення. Розв’язком рівняння (1) називається такий n-мірний числовий вектор а=(а₁,а₂,…,а_n), що рівняння (1) перетворюється в істинну рівність після заміни в ньому невідомих х_i відповідними координатами а_i.

Приклад.

1)3х₁+4х₂=13 – лінійне рівняння з двома невідомими, вектор а=(3,1) розв’язок даного рівняння.

2)3х₁+4х₂–5х₃=0 – лінійне рівняння з трьома невідомими. Вектор а=(2,1,2) – розв’язок рівняння, вектори b=(1,3,3), 0=(0,0,0) також є розв’язками цього рівняння.

Нехай дано m лінійних рівнянь з невідомими х₁,х₂,…,х_n, які розглядаються над одним числовим полем Р, і стоїть задача знайти спільний розв’язок всіх рівнянь. В такому випадку кажуть, що задана система m лінійних рівнянь з n невідомими(СЛР) і її записують наступним чином:

(2)

де х₁,х₂,…,х_n - невідомі, а₁₁,а₁₂,…,а_mn і b₁,b₂,…,b_m - деякі числа з поля Р. Числа а₁₁,а₁₂,…,а_mn називаються коефіцієнтами системи, а числа b₁,b₂,…,b_m – вільними членами системи.

Коєфіцієнти, які стоять в системі (2) при невідомих х_i і вільні члени цієї системи складають m-мірні числові вектори.

Система (2) рівносильна рівнянню (3) х₁а₁+х₂а₂+…+х_nа_n=b.

Рівняння (3) називають векторною формою системи лінійних рівнянь.

Означення. Розв’язком системи лінійних рівнянь (2) називається будь-який n-мірний числовий вектор а=(а₁,а₂,…,а_n), який є розв’язком кожного з рівнянь цієї системи.

Система рівнянь, яка має хоча б один розв’язок, називається сумісною; система рівнянь, яка не має жодного розв’язку, називається несумісною.

Якщо в системі зустрічається суперечливе рівняння, то система несумісна.

Виключення з системи невизначеного рівняння не впливає на розв’язок системи.

Теорема. Якщо система лінійних рівнянь має два різних розв’язки, то вона має їх безліч.

Отже, сумісна система лінійних рівнянь може мати або один розв’язок, або безліч.

Означення. Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок; вона називається невизначеною, якщо має безліч розв’язків.

Отже, якщо система має єдиний розв’язок, то вона є сумісновизначеною, кілька розв’язків - сумісно невизначена, жодного, то несумісна.

Розв’язати СЛР - це означає дослідити, сумісна вона чи ні; у випадку сумісності встановити число її розв’язків і знайти їх.

Матрицю, яка складена з коефіцієнтів СЛР (2) називають основною матрицею цієї системи, а матрицю, яка складена з коефіцієнтів і вільних членів системи, називають розширеною матрицею цієї системи.

Системи лінійних рівнянь називають рівносильними, якщо множини їх розв’язків співпадають.

Щоб розв’язати СЛР застосовують елементарні перетворення.

1) Дослідити на сумісність і визначеність СЛР:

Складаємо розширену матрицю цієї системи

1. Якщо k=1, то система несумісна;

2. Якщо k¹1, то

Загальний розв’язок

(, , , ).

 

 

Елементарні перетворення.

Означення. Елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь називаються такі перетворення:

1) перестановка місцями (транспозиція) двох рівнянь системи;

2) множення будь-якого рівняння системи на число, відмінне від нуля;

3) додавання до одного рівняння системи іншого її рівняння, помножене на деяке число;

4) викреслення невизначеного рівняння.

Теорема Гауса. Елементарні перетворення системи не змінюють множину її розв’язків, тобто приводять нас до рівносильної системи.

Ідея метода Гауса СЛР полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень переходимо від даної системи до системи виду трикутника або трапеції і розв’язуємо одержану систему, а оскільки вона рівносильна даній, то одержуємо розв’язок (множину розв’язків) початкової системи.

Алгоритм:

1) якщо в системі є суперечливе рівняння, то система несумісна;

2) якщо в системі є невизначене рівняння, то викреслюємо його;

3) робимо коефіцієнт а₁₁¹0;

4) перше рівняння залишаємо, наступні рівняння утворюємо так:

перше рівняння а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1nх_n=b₁ домножуємо на

–а_1n/а₁₁ і додаємо до наступних.

В результаті одержимо систему:

Далі аналогічно беремо рівняння a₂₂¢x₂+…+a_2n¢x_n=b₂¢ і обнуляємо коефіцієнти а_k2¢, k³3.

Отже, дану систему ми звели до діагонального виду

в якій діагональні елементи а_ii¹0(i=1,…,r,r<=k).

В результаті цих перетворень, якщо матриця СЛР зводиться:

1) до виду трикутника, то СЛР має єдиний розв’язок;

2) до виду трапеції, тоді СЛР має безліч розв’язків.

Змінні, через які ми виражаємо всі інші змінні називаються вільними змінними.

Для зручності обчислень будемо використовувати матриці, бо перетворення з рядками зводяться до переворень з коефіцієнтами.

Приклад.

1) Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса:

Дана система звелась до виду трикутника. Її розв’язок (1,2,69/23).

2) Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса:

~

х₁=-12-44 3/4x₃+26 3/4x₄,

x₂=-19-39 1/4x₃+18 1/4x₄,

x₃,x₄ є R,

x₅=4+14x₃-6x₄.

Cистема звелась до виду трапеції.

Її розв’язок (-12-44 3/4x₃+26 3/4x₄, -19-39 1/4x₃+18 1/4x₄, x₃,x₄,

4+14x₃-6x₄), х₃,x₄ є R.

3) Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса:

Отже її розв’язок (2,-3,-1).

4) Розв’язати систему лінійних рівнянь:

Дана система містить суперечливе рівняння, отже вона розв’язків немає.