Диференціальні рівняння другого порядку.

Задача 1.

1. Рівнянням 2-го порядку називається рівняння, що пов’язує незалежну змінну,невідому функцію і її перші дві похідні:

F (x, y, у ^/, у ^//) = 0.

В багатьох випадках можна розв’язати це рівняння відносно старшої похідної:

y ^// = f (x, y, y).

2. Задача знаходження такого розв’язку рівняння, що задовольняє початковим умовам у (х ₀) = у ₀, у ' (х ₀) = у ₁ називається задачею Коші.

3. Загальним розв’язком рівняння другого порядку називається функція у = φ (х, С ₁, С₂) така, що:

1. при будь-яких довільних сталих С ₁, С₂ перетворює дане рівняння в тотожність;

2. при будь-яких початкових умовах знайдуться такі значення довільних сталих С ₁*, С₂ *, при яких φ (х ₀, С ₁*, С₂ *) = у ₀.

4. Будь-яка функція у = φ (х, С ₁⁰, С₂ ⁰), яка отримана із загального розв’язку при конкретних значеннях сталих С ₁, С₂ називається частинним розв’язком.

5. Дане рівняння, не містить явно шукану функцію у(х): F (x, y ', y)=0. Можна знизити порядок рівняння підстановкою у ' = р (х), у '' = р ' (х), де р (х) – нова невідома функція.

6. Підставивши вирази у ' = р (х), у '' = р ' (х) в дане рівняння, після спрощень отримаємо диференціальне рівняння першого порядку відносно функції р (х) (див. частину ІV).

7. Розв’язавши отримане рівняння, знайдемо функцію р (х). Робимо зворотну підстановку у ' = р (х). Отримаємо диференціальне рівняння першого порядку відносно функції у(х). Розв’язавши це рівняння, отримаємо загальний розв’язок даного диференціального рівняння другого порядку.

8. Для знаходження розв’язку задачі Коші знайдемо похідну . Потім підставимо в у і замість х, у і значення , і відповідно. Виконавши обчислення, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих коефіцієнтів .

9. Розв’язавши систему з п.8, підставимо знайдені значення коефіцієнтів і в у(х). Отриманий розв’язок є частинним розв’язком даного диференціального рівняння.

Задача 2.

1. Рівняння другого порядку, що не містить явно незалежну змінну х: F (у, y ', y '')=0. В такому рівнянні можна знизити порядок підстановкою у ' = р (у), у '' = р ' (у) · р (у), де р (у) – нова невідома функція.

2. Підставивши замість у ', у '' їх вирази, отримаємо диференціальне рівняння першого порядку.

3. Розв’язуємо отримане рівняння, робимо зворотну підстановку і маємо ще одне диференціальне рівняння першого порядку. Розв’язавши його, знайдемо загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку.

Задачі 3, 4, 5.

1. Дані лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами (ЛНДР ІІ). Алгоритм їх розв’язання наведено в задачі 5 частини ІV даного посібника.

2. Для знаходження розв’язку задачі Коші в рівнянні 5 знайдемо похідну . Потім підставимо в у_зн і замість х, у і значення , і відповідно. Виконавши обчислення, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих коефіцієнтів .

3. Розв’язавши систему з п.2, підставимо знайдені значення коефіцієнтів і в . Отриманий розв’язок є частинним розв’язком ЛНДР ІІ.

VІ. Ряди.

Задача 1.

1. Числовим рядом називається символ

,

де числа а ₁, а ₂, а ₃,… називаються членами ряду, член а_n – загальним членом ряда.

2. Сума n перших членів ряду називається n -ою частинною сумою ряду і позначається

.

3. Числовий рядназивається збіжним, якщо існує скінчена границя послідовності його частинних сум :

.

Число S називається сумою ряду. Якщо така границя не існує або дорівнює нескінченності, то ряд називається розбіжним.

4. Необхідна умова збіжності ряду. Якщо числовий ряд збігається, то загальний член ряду прямує до нуля при n → ∞:

.

Дана умова є тільки необхідною, але не достатньою для збіжності ряду. Якщо , то ряд розбігається. Якщо ж , то ряд може як збігатися, так і розбігатися.

5. Якщо при всіх n виконується нерівність а_n ≥ 0, то він називається рядом з невід’ємними членами. Якщо а_n > 0 при всіх n, то маємо ряд з додатними членами.

6. Ознака Даламбера.

Нехай ряд – ряд з додатними членами і існує скінчена границя

.

Тоді, при l > 1 ряд розбігається, при l < 1 ряд збігається, при l = 1 треба досліджувати ряд за допомогою інших ознак.

7. Ознаку Даламбера зручно використовувати, коли загальний член ряду містить факторіали, показникові функції.

 

Задача 2.

1. Ряд, що містить і додатні і від’ємні члени називається знакозмінним.

2. Частинним випадком знакозмінних рядів є знакопереміжні ряди.

Ряд, в якому будь-які два сусідні члени мають різні знаки, називаються знакопереміжними:

або

де а ₁, а ₂, …, а_n, … – додатні дійсні числа.

3. Знакопереміжні ряди досліджують на збіжність за ознакою Лейбніца.

Нехай даний знакопереміжний ряд або . Якщо:

1) абсолютні величини членів ряду монотонно спадають (а ₁ > а ₂ > а ₃>…) і

2) загальний член ряду прямує до нуля при n → ∞ (), то ряд збігається.

4. Якщо хоча б одна з умов не виконується, то ряд розбігається.

Задача 3.

1. Ряд, членами якого є функції, називається функціональним:

,

причому, всі функції повинні бути визначені і неперервні в одному інтервалі.

2. Якщо в функціональний ряд замість х підставити конкретне значення х = х ₀, то він стане числовим. Для одних значень х ряд може збігатися, для інших – розбігатися.

3. Значення х = х ₀, при яких числовий ряд збігається, називається точкою збіжності функціонального ряду. Множина всіх точок збіжності функціонального ряду називається областю його збіжності.

4. Частиннимвипадком функціонального ряду є степеневий ряд, тобто ряд вигляду ,

де а ₀, а ₁, …, а_n, … числа, які називаються коефіцієнтами степеневого ряду.

5. При х ₀ = 0 степеневий ряд має вигляд

6. Всі степеневі ряди збігаються при .

7. Для дослідження степеневого ряду на збіжність треба знайти радіус та інтервал збіжності.

8. Радіусом збіжності степеневого ряду називається таке число R, що для всіх х таких, що < R, ряд збігається абсолютно, а для всіх х таких, що > R, ряд розбігається.

9. Радіус збіжності степеневого ряду знаходиться за формулою:

.

10. Інтервалом збіжності степеневого ряду називається інтервал

(х ₀ – R; х ₀ + R).

11. Якщо степеневий ряд збігається при всіх х, то вважають, що R = ∞. Якщо ряд розбігається при всіх х, крім х = 0, то вважають R = 0.

12. На кінцях інтервалу збіжності (при і ) необхідно провести додаткове дослідження. Ряд може збігатися в обох точках, або тільки в одній з них, або розбігатися в обох. Для дослідження треба підставити значення і в степеневий ряд і дослідити отриманий числовий ряд (див. задачі 1,2).

Задача 4.

1. Якщо функція f(x) диференційована в околі деякої точки скільки завгодно разів, то її можна представити у вигляді суми степеневого ряду, який збігається в околі точки : ,

де а ₀, а ₁, а ₂, а ₃, …, а_n, …– коефіцієнти ряду.

2. Ряд вигляду називається рядом Тейлора функції f (х). Коефіцієнти називаються коефіцієнтами Тейлора функції f (х) в точці х ₀.

3. Щоб розкласти функцію f (х) в ряд Тейлора в околі даної точки треба знайти похідні функції до n- го порядку, обчислити значення похідних в точці , обчислити коефіцієнти Тейлора і підставити їх в розвинення (див. п.2).

 

Задача 5.

1. Ряд, який отриманий з ряду Тейлора при х ₀ = 0, називається рядом Маклорена і має вигляд:

2. Ряд Тейлора при х ₀ = 0 є розвиненням функції за степенями х.

3. Розвинення в ряд Тейлора при х ₀ = 0 деяких елементарних функцій.

1. (х R)

2. (х R)

3. (х R)

 

4.

(х (– 1; 1))

5. (х (– 1; 1))

6. (х (– 1; 1))

Література.

1. Пак В.В, Носенко Ю.Л. Вища математика. – К.: Либідь,1996.

2. Улітін Г.М., Гончаров А.Н. Курс лекцій з вищої математики. – Донецьк: ДонНТУ, 2009.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1975.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах (части 1,2). – М.: Высшая школа, 1999.

5. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. В 2-х ч. – М. Айрис пресс, 2004. – 590 с.

 

 

 

 

 

 

Зміст.

Вступ. …………………………………………………………………………….. 4

Загальне формулювання задач. …………………………………………………. 5

І. Невизначений інтеграл. ……………………………………………………….. 5

ІІ. Визначений інтеграл. …………………………………………………………. 5

ІІІ. Функції багатьох змінних. …………………………………………………… 5

ІV. Диференціальні рівняння. …………………………………………………… 5

V. Диференціальні рівняння другого порядку. …………………….………… 6

VІ. Числові та функціональні ряди. ………………………………………… 6

Варіанти домашніх індивідуальних завдань. ………………………………… 7

Варіант 1. ……………………………………………………………………… 7

Варіант 2. ……………………………………………………………………… 9

Варіант 3. ……………………………………………………………………… 11

Варіант 4. ……………………………………………………………………… 13

Варіант 5. ……………………………………………………………………… 15

Варіант 6. ……………………………………………………………………… 17

Варіант 7. ……………………………………………………………………… 19

Варіант 8. ……………………………………………………………………… 21

Варіант 9. ……………………………………………………………………… 23

Варіант 10.……………………………………………………………………… 25

Варіант 11. ….. ………………………………………………………………… 27

Варіант 12. …………………………………………………………………….. 29

Варіант 13. …………………………………………………………………….. 31

Варіант 14. …………………………………………………………………… … 33

Варіант 15. …………………………………………………………………….. 35

Варіант 16. …………………………………………………………………….. 37

Варіант 17. …………………………………………………………………….. 39

Варіант 18. …………………………………………………………………….. 41

Варіант 19. …………………………………………………………………….. 43

Варіант 20. …………………………………………………………………….. 45

Варіант 21. …………………………………………………………………….. 47

Варіант 22. …………………………………………………………………….. 49

Варіант 23. …………………………………………………………………….. 51

Варіант 24. …………………………………………………………………….. 53

Варіант 25. …………………………………………………………………….. 55

Довідкові матеріали. ………………………………………………………….. 57

І. Невизначений інтеграл. ………….……………………………………… 57

ІІ. Визначений інтеграл. ………………………………………………………. 61

ІІІ. Функції багатьох змінних. ……………………………………………….. 64

ІV. Диференціальні рівняння. ………………………………………………… 68

V. Диференціальні рівняння другого порядку. …………………….………… 72

VІ. Числові та функціональні ряди. ………………………………..………… 74

Література. ……………………………………………………………………… 80

Зміст. ……………………………………………………………………………. 81

 

 

Домашні індивідуальні завдання з вищої математики:

методичний посібник для самостійної роботи студентів.

(для студентів всіх спеціальностей)

Частина ІІ.

 

Укладачі Гребьонкіна Олександра Сергіївна

Євсеєва Олена Геннадіївна

Кльоміна Світлана Іванівна

Савін Олександр Іванович

 

 

Рекомендовано до видання навчально-методичною радою ДонНТУ. Протокол № 6 від 06.10.11

Ум. друк. с. 3,5.