ІV. Диференціальні рівняння.

Задача 1.

1. Рівняння, які зв’язують невідому функцію, її диференціали або похідні та аргумент, називаються диференціальними (ДР). Коли невідома функція залежить лише від одного аргументу, тоді ДР називається звичайним.

2. Найвищий порядок похідної, що входить в ДР, називається порядком ДР.

3. Рівняння, яке пов’язує незалежну змінну х, невідому функцію у (х) та її похідну y ', називається ДР першого порядку:

F (x, y, y ') = 0 або y ' = f (х, у).

4. Розв’язком ДР першого порядку називається будь-яка функція у = φ (х), яка при підстановці її разом з похідною в рівняння, перетворює його в тотожність. Графік функції у = φ (х) називається інтегральною кривою.

5. Розв’язок ДР, який задовольняє початковій умові у (х ₀) = у ₀ , називається частинним розв’язком.

7. Задачу пошуку розв’язку ДР першого порядку, який задовольняє даній початковій умові, називають задачею Коші:

– задача Коші.

8. Загальним розв’язком ДР першого порядку називається така функція у = φ (х, С), де С – довільна стала, що:

1. при будь-якому значенні С вона є розв’язком цього рівняння;

2. для будь-якої припустимої початкової умови у (х ₀) = у ₀ знайдеться таке значення сталої С = С ₀, що φ (х ₀, С ₀) = у ₀.

9. ДР вигляду M ₁(х) N ₁(у) dx + M ₂(х) N ₂(у) dy = 0 (або y ' = f ₁(х) f ₂(у)) називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Щоб розв’язати таке рівняння, необхідно поділити обидві його частини на множник N ₁(у) M ₂(х) ≠ 0 (або на f ₂ (у) ≠ 0), а потім проінтегрувати отримане рівняння. В результаті знайдемо загальний розв’язок рівняння.

10. Для знаходження частинного розв’язку слід замість х і у підставити в загальний розв’язок значення і відповідно. Отримаємо конкретне числове значення довільної сталої С. Підставивши це значення в загальний розв’язок рівняння, записуємо його частинний розв’язок.

 

Задача 2.

1. ДР першого порядку y ' = f (х, у) називається однорідним, якщо функцію f (х, у) можна привести до вигляду f (х, у)= . В цьому випадку функція f (х, у)

називається однорідною відносно своїх аргументів.

2. Розв’язок однорідного ДР шукають у вигляді y=z(x)x, де z(x) – нова невідома функція. В загальному випадку в однорідному ДР відокремити змінні неможливо.

3. Якщо y=zx, то y ' = z ' x + z. Підставивши y та y ' в дане однорідне рівняння і виконавши тотожні перетворення, отримаємо ДР першого порядку з відокремлюваними змінними (див. задачу 1).

 

Задача 3.

1. ДР вигляду y ' + p (x) y = g (x), де p (x), g (x) – дані неперервні функції, називається лінійним.

2. Розв’язок рівняння шукають у вигляді у = u (х) v (х). Одну з функцій u, v обирають довільно (як правило v (х)). Іншу – в залежності від першої так, щоб їх добуток був розв’язком рівняння.

3. Якщо у = иv, то у ' = u ' v + uv ', а рівняння приймає вигляд:

u ' v + u (v ' + p (x) v) = g (x).

4. Функцію v (х) вибирають так, щоб вираз в дужках був рівним нулю:

v ' + p (x) v = 0. Тоді для знаходження и (х) маємо рівняння u ' v = g (x). Отже, отримали систему рівнянь з відокремлюваними змінними для знаходження u, v:

5. Розв’язавши цю систему, знайдемо функції и (х) і v (х). Загальний розв’язок лінійного рівняння отримаємо, як добуток знайдених функцій: у = иv.

6. Частинний розв’язок лінійного ДР знаходять так само, як і у випадку ДР з відокремлюваними змінними(див. задачу 1).

 

Задача 4.

1. Рівняннявигляду y '' + а ₁ y ' + а ₂ y = 0, де – числа, y(x) – невідома функція, називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами (ЛОДР ІІ).

2. Загальний розв’язок ЛОДР ІІ має вигляд:

у_зо = С ₁ у ₁ + С ₂ у _2,

де - довільні сталі,

- два будь-які лінійно незалежні розв’язки ЛОДР ІІ. Ці розв’язки утворюють так звану фундаментальну систему розв’язків (ф. с. р.).

3. Розв’язок ЛОДР ІІ шукають у вигляді у = е^kx. Тоді у ' = kе^kx, у '' = k ² е^kx. Підставивши похідні в ЛОДР ІІ і скоротивши на е^kx, отримаємо рівняння:

k ² + а ₁ k + а ₂ = 0.

Таке рівняння є характеристичним рівнянням для ЛОДР ІІ. В залежності від його коренів ф.с.р. і загальний розв’язок ЛОДР ІІ приймають один з наступних виглядів.

4. Нехай характеристичне рівняння має два різних дійсних кореня k ₁ ≠ k ₂. Тоді , . Загальний розв'язок ЛОДР ІІ:

у_зо = С ₁ + С ₂ , С ₁, С ₂ R.

5. Нехай характеристичне рівняння має два однакових дійсних кореня k ₁= k ₂= k. Тоді , а в якості другого розв'язку беремо . Загальний розв'язок ЛОДР ІІ:

у _зо = е^kx (С ₁ + С ₂ х), С ₁, С ₂ R.

6. Нехай характеристичне рівняння має два комплексних спряжених кореня k _1,2 = α ± βі. Тоді ф. с. р. утворюють функції і , а загальний розв'язок ЛОДР ІІ має вигляд:

у _зо = е ^{α x} (С ₁ + С ₂ ), С ₁, С ₂ R.

Задача 5.

1. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами (ЛНДР ІІ) – це рівняння вигляду y '' + а ₁ y ' + а ₂ y = f (x), де f(x) – довільна неперервна функція.

2. Загальний розв'язок у_зн ЛНДР ІІ має вигляд

у_зн = у_зо + у_ч,

де у_зо – загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння,

у_ч – деякий частинний розв'язок даного неоднорідного рівняння.

3. Для розв’язання ЛНДР ІІ необхідно спочатку знайти загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння (див. задачу 4).

4. Якщо права частина рівняння f(x) має спеціальний вигляд, то частинний розв’язок у_ч шукаємо методом невизначених коефіцієнтів.

5. Деякі спеціальні праві частини і відповідні їм частинні розв’язки рівняння наведені в наступній таблиці:

	f (x) = е^а^xРn (х)	уч = , де S = 0, якщо k 1 ≠ а і k 2 ≠ а, S = 1, якщо k 1 = а або k 2 = а, S = 2, якщо k 1 = k 2 = а; Qn (х) – многочлен степеня n з невизначеними коефіцієнтами.
	f (x) =	уч = , де S = 1, якщо k 1,2 = ± bi, S = 0 в інших випадках; А, В – невизначені коефіцієнти.

 

6. Для знаходження розв’язку у_ч треба вибрати відповідний вигляд розв’язку з таблиці, знайти похідні і підставити у_ч, в неоднорідне рівняння. Спростити отримане рівняння, скласти систему для знаходження невідомих коефіцієнтів і розв’язати її. Для складання системи необхідно прирівняти коефіцієнти при однакових степенях х в обох частинах рівняння (випадок 1) або при однакових тригонометричних функціях (випадок 2).

7. Визначені в п.6коефіцієнти підставимо в частинний розв’язок у_ч. Загальний розв’язок ЛНДР ІІ отримаємо склавши розв’язки і у_ч.

Частина V.