V. Диференціальні рівняння другого порядку

1. , , ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. , , .

 

VI. Числові і функціональні ряди

1. а) , б) .

2. а) б) .

3. а) , б) .

4. , .

5. .

 

ВАРІАНТ №25

Частина 1

І. Невизначений інтеграл

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

5. а) ; б) .

ІІ. Визначений інтеграл

1. а) ; б) ; в) .

2. .

3. а) ; б) .

4. .

5. .

ІІІ. Функції багатьох змінних

1. .

2. ; .

3. .

4. ; .

5. ; ; .

 

Частина 2

IV. Диференціальні рівняння

1. , ;

2. ;

3. , ;

4. а) ; б) ;

в) , , ;

5. .

 

V. Диференціальні рівняння другого порядку

1. , , ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. , , .

 

VI. Числові і функціональні ряди

1. а) , б) .

2. а) б) .

3. а) , б) .

4. , .

5. .

 

 

Довідкові матеріали.

Частина 1.

І. Невизначений інтеграл.

Задача 1.

1. Функція F (х) називається первісною від функції f (х) на відрізку [ a, b ], якщо в усіх точках відрізку виконується рівність F ' (х) = f (х).

2. Множина усіх первісних F (х) + С для функції f (х) на відрізку [ a, b ] називається невизначеним інтегралом від f (х) і позначається :

.

Функція f (х) називається підінтегральною функцією, вираз f (х) dx – підінтегральним виразом, х – змінною інтегрування, – знаком невизначеного інтеграла.

3. Таблиця основних невизначених інтегралів.

1. . 9. .

2. . 10. .

3. . 11. .

4. . 12. .

5. . 13. .

6. . 14. .

7. . 15. .

8. . 16. .

4. Властивості невизначеного інтеграла.

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

.

2. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

.

3. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від функцій, що додаються:

.

4. Якщо ,то , де и = u (x) – довільна функція, яка має неперервну похідну.

 

Задача 2.

1. Якщо при знаходженні інтеграла зробити підстановку (заміну змінної) х = φ (t), де φ (t) – це функція, яка має неперервну похідну, то

dх = φ ' (t) dt і виконується рівність:

.

2. Підстановку х = φ (t) необхідно підбирати так, щоб інтеграл в правій частині формули був табличним або легко зводився до табличного.

3. Після знаходження інтеграла треба обов’язково повернутися до старої змінної інтегрування (підставивши замість t функцію обернену до φ (х)).

4. В багатьох інтегралах підстановку більш зручно зробити у вигляді t = φ (х); тоді dt = φ ' (х) dх.

 

Задача 3.

1. Якщо підінтегральний вираз можна записати у вигляді добутку udv, де u(x)

i v(x) – функції, які мають неперервні похідні, то має місце формула інтегрування частинами:

.

2. Записати підінтегральний вираз у вигляді добутку udv можна декількома способами. Причому, множник dv обов’язково містить диференціал змінної інтегрування. Після вибору множників u і dv треба диференціюванням знайти du та інтегруванням – v. При обчисленні довільну сталу опускають. Отримані значення u, v та du підставляють в праву частину формули. Множники u і dv будуть вибрані вірно, якщо інтеграл є простішим за інтеграл .

Розглянемо основні типи інтегралів, які легко обчислити інтегруванням частинами.

3. В інтегралах вигляду , , , , де Р_n (х) – многочлен n -го степеня, k – число, зручно вибрати множник u = Р_n (х), dv – всі інші множники.

4. В інтегралах вигляду зручно взяти dv = Р_n (х) dх, а u =ln(ах + b).

5. В інтегралах вигляду , , , , де Р_n (х) – многочлен, k – число, вибирають dv = Р_n (х) dх, за u – функцію, що є множником при Р_n (х).

6. Метод інтегрування частинами можна, у разі необхідності, застосовувати декілька разів поспіль або комбінуючи з іншими методами інтегрування.

Задача 4.

1. Інтеграли вигляду і можна спростити, виділивши повний квадрат в знаменнику:

.

2. Підстановка зводить даний інтеграл до табличного.

Задача 5.

1. Позначимо R (sin x, cos x) функцію зі змінними sin x та cos x, над якими виконані дії додавання, віднімання, множення або ділення (R – знак раціональної функції).

2. Будь-який інтеграл виду можна за допомогою підстановки привести до інтеграла від функції, раціональної відносно t. В цьому випадку , , , а

.

Така підстановка називається універсальною тригонометричною підстановкою.

В ряді випадків при інтегруванні тригонометричних функцій можна скористатися більш простими підстановками. Зокрема, однією з наступних, в залежності від вигляду підінтегральної функції.

3. В інтегралах , де R – раціональна функція, можна застосувати підстановку t = sin х; в інтегралах вигляду – підстановку t = cos х.

4. Коли інтеграл має вигляд , де R – раціональна функція, то він спрощується за допомогою підстановки tg x = t.

5. Інтеграл вигляду спрощується заміною змінних, яку зручно обрати в залежності від значень m і n, а саме:

5.1. коли n – ціле додатне непарне число, такий інтеграл можна спростити підстановкою t = sin х;

5.2. підстановку t = cos х використовують, коли m – ціле додатне непарне число;

5.3. якщо m і n – цілі невід’ємні парні числа, то для спрощення інтеграла можна застосувати формули зниження степеня тригонометричних функцій:

, ;

5.4. коли (m + n) – ціле від’ємне парне число, то використовують підстановку tg x = t.

6. Інтеграли вигляду , , обчислюються за допомогою формул:

,

,

.

ІІ. Визначений інтеграл.

Задача 1.

1. Найпростішим методом обчислення визначеного інтеграла є формула Ньютона-Лейбніца:

де F (х) – будь-яка первісна від функції f (х).

2. Метод заміни змінної використовують тоді, коли можна вибрати таку функцію x = g (t), що після підстановки підінтегральна функція стане простішою. Якщо при обчисленні інтеграла робиться підстановка x = g (t), то формула заміни змінної має вигляд:

,

де α, β – нові межі інтегрування, що знаходять із рівностей a = g (α), b = g (β).

3. При обчисленні визначеного інтеграла необхідно обов’язково перерахувати межі інтегрування. Повертатися до старої змінної не треба.

Задача 2.

1. Формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла має вигляд:

.

2. Множники u (х) і dv обираються так само, як в невизначеному інтегралі.

 

Задача 3.

1. Нехай функція f (х) інтегрована на будь-якому відрізку [ a; b ], тоді інтеграли

називаються невласними інтегралами першого роду.

2. Якщо границі в правих частинах формул скінчені, то інтеграли називаються збіжними. Якщо ці границі не існують або дорівнюють нескінченості, то інтеграли є розбіжними.

 

Задача 4.

1. Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції у = f (х) ³ 0, віссю О х і прямими х = а, х = b (рис. 1 а), обчислюється за формулою:

.

а

б

Рис. 1.

2. Якщо f (х) < 0 на [ a; b ], то .

3. Якщо фігура обмежена зверху графіком функції у = f ₂(х), знизу – у = f ₁(х), зліва і справа прямими х = а, х = b відповідно (рис. 1 б), то її площа обчислюється за формулою:

.

4. Якщо фігура обмежена зверху лінією, що задана параметричними рівняннями х = х (t), у = у (t) > 0, t [ t ₁; t ₂], знизу – віссю О х, зліва і справа – прямими х = а, х = b, то її площа дорівнює:

,

причому х (t ₁) = а, х (t ₂) = b.

 

Задача 5.

1. Нехай криволінійна трапеція (рис. 1 а) обертається навколо осі О х. Тоді об’єм тіла обертання дорівнює:

.

2. Об’єм тіла, що утворене обертанням навколо осі О у фігури, яка обмежена лініями у = с, у = d, х = 0, х = g(у), обчислюється за формулою:

.

3. Якщолінія, що обмежує криволінійну трапецію, задана параметричними рівняннями х = х (t), у = у (t), t [ t ₁; t ₂], то об’єм тіла обертання навколо осі О х обчислюється за формулою: