Метод Гаусса розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Нехай задано систему лінійних рівнянь

(1.1)

в якій коефіцієнти і вільні члени - відомі, а - невідомі. Розв`язати систему (1.1) – це означає знайти впорядковану сукупність чисел таку, що при заміні відповідно на кожне рівняння перетворюється на тотожність.

Система рівнянь (1.1) може мати єдиний розв`язок, безліч розв`язків, а може не мати жодного розв`язку.

Серед цих рівнянь можуть бути такі, що

(1.2)

Якщо , то рівняня (1.2) не задовільняють ніякі значення . В цьому разі система не має розв`язку, вона несумісна.

Якщо , то рівняння (1.2) задавольняють будь-які значення ,. При цьому вираз (1.2) називають тотожністю і записують . Тотожність можна вилучити із системи. При цьому решта рівнянь утворює систему, яка матиме ті самі розв`язки, що і (1.1). Такі системи лінійних рівнянь називаються рівносильними.

Над системами лінійних рівнянь виконують так звані елементарні перетворення:

а) додавання до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння;

б) перестановку рівнянь у системі;

в) вилучення із системи тотжності ;

г) множення якого-небудь рівняння системи на дійсне число, відмінне від нуля;

д) перенумерування як рівнянь, так і невідомих.

Елементарні операції не змінюють множину розв`язків системи лінійних рівнянь.

Множину всіх розв`язків системи називають загальним розв`язком, а будь-який елемент цієї множини – частинним розв`язком.

Для винаходження загального розв`язку системи (1.1) існує простий і зручний метод Гаусса. Він заснований на тому, що за допомогою елементарних перетворень (1.1) або переконуємося у її несумісності, або одержуємо систему особливого виду: кожне рівняння має невідому, яка надходить до цього рівняння з ненульовим коефіцієнтом, а до інших рівнянь – з коефіцієнтом 0. Якщо в кожному рівнянні зафіксована така невідома, вона називається базисною (всі базисні невідомі утворюють базис невідомих), інші невідомі (якщо такі є) називаються вільними.

Приклад 1. (1.3)

 

Тут - базисні невідомі, - вільні. Загальний розв`язок системи (1.3) одержимо після того, як перепишемо (1.3) у виді:

 

Очевидно, за наявністю хоча б однієї вільної невідомої система має безліч розв`язків. Якщо ж вільних невідомих немає, розв`язок тільки один.

Метод Гаусса (черговий й крок):

1. Вилучаємо із системи, що одержали після попередніх кроків, рівняння . Якщо в системі, що залишилася, є хоча б одне рівняння виду (1.2) при , система несумісна.
2. Якщо таких рівнянь немає, обираємо як ключове одне з тих рівнянь, що у попередніх кроках ще не були ключовими, і за ключову одну з невідомих – таку, при якій у ключевому рівнянні ненульовий коефіцієнт (ключовий елемент).
3. Із всіх рівнянь, окрім ключового, вилучаємо ключову невідому. Для цього до кожного з таких рівнянь додаємо ключове рівняння, помножене на придатне число.

 

Процес закінчується тоді, коли всі рівняння перебували в ролі ключового. Тоді із системи, що отримали, легко знаходиться розв`язок.

Приклад 2. Розв`язати методом Гаусса систему рівнянь .

 

Розв`язання. Складаємо таблицю із коефіцієнтів при невідомих і вільних членів рівнянь системи. Дужками позначаємо ключовий елемент, за допомогою якого занулюємо інші елементи ключового стовпця (відповідні перетворення записуємо поряд з рядками, наприклад: означає, що до четвертого рядка додається другий(ключовий), помножений на .

 

 

Рядки таблиці, що містять лише нульові елементи і відовідають рівнянням 0=0, вилучаємо. Алгоритм метода Гаусса вичерпан, тому що залишилися рядки, які вже були ключовими. Записуємо відповідні рівняння і загальний розв`язок вихідної системи:

.

 

Будь-який частинний розв`язок одержуємо із загального, коли надаємо вільним невідомим певних значень, наприклад: при маємо частинний розв`язок

 

Приклад 3. Розв`язати методом Гаусса систему .

 

Розв`язання.

 

 

 

 

Приклад 4.

Розв`язання.

 

 

Очевидно, що система несумісна тому, що останньому рядку відповідає рівняння , яке не має розв`язків.

Зауваження 1. Частинний розв`язок, у якому всі вільні невідомі дорівнюють нулю, називають базисним.

Зауваження 2. Система (1.1) при нульових вільних членах навається однорідною системою лінійних рівнянь. Очевидно, що будь-яка однорідна система завжди сумісна – вона має принаймні один розв`язок

 

 

Матриці і дії над ними.

Сукупність чисел , записаних у вигляді прямокутної таблиці

називається матрицею.

Елементи матриці мають подвійну нумерацію. Перший індекс вказує номер рядка, другий – стовпчика. Число рядків і стовпчиків вказує на розмір матриці .

Приклад 1. Прогноз погоди в певних містах може бути подано таблицею 1:

Таблиця 1

Характеристика погоди	Міста
Львів	Одеса	Донецьк	Київ	Чернигів
Температура, ˚С
Вологість, %
Тиск, мм рт. ст.

 

Числа в таблиці утворюють матрицю розміру .

Матрицю , називають

1) нульовою, якщо всі елементи дорівнюють нулю ;

2) додатною, якщо всі елементи ;

3) від`ємною, якщо всі елементи ;

4) невід`ємною, якщо всі елементи ;

5) квадратною, якщо число рядків її дорівнює числу стовпчиків (зокрема, елементи називають діагональними);

6) діагональною, якщо вона квадратная і всі елементи, крім діагональних, дорівнюють нулю;

7) одиничною (позначають ), якщо вона діагональная і всі діагональні елементи дорівнюють одиниці;

8) трикутною, якщо всі її елементи під (над) діагоналлю дорівнюють нулю.

 

Приклад 2.

- невід`ємна і діагональна; одинична матриця.

 

Дві матриці однаковіх розмірів з одинаковими відповідними елементами називаються рівними між собою.

Добутком матриці на число називається матриця , елементи якої є добутки елементів даної матриці на це число для всіх

Властивості операції множення матриці на число:

1)

2) якщо , то

Сумою двох матриць і називають матрицю , елементи якої обчислюються за формулою для всіх

Властивості операції додавання матриць:

1) (комутативність);

2) (асоціативність);

3) (дистрибутивність);

4) (нейтральність нульової матриці);

Приклад 3. Виконати дії над матрицями

Добутком двох матриць розміру і розміру називається матриця розміру , елемент якої дорівнює сумі добутків елементів го рядка матриці на відповідні елементи -го стовпця матриці :

.

Властивості операції множення матриць:

1)

2)

3) взагалі кажучи;

4)

5)

Приклад 4.

Приклад 5. Систему лінійних рівнянь з невідомими (1.1) можна записати у матричній формі

де , , .

Транспонованою матрицею до матриці називають таку, в якій рядки і стовпчики міняються місцями, і позначають її через

Приклад 6. Для матриці транспонованою буде .