Пряма лінія у тривимірному просторі.

Пряма лінія у тривимірному просторі може бути задана перетином двох площин або точкою і напрямом.

Загальне рівняння прямої в визначає пряму як геометричне місце перетину двох непаралельних площин і :

(16.1)

 

 

 

Рис.14

 

 

Зауважимо, що оскільки пряма (16.1) належить до площин і , вона перпендикулярна до їх векторів нормалі і і тому напрямний вектор прямої (16.1) можна визначити як .

Канонічними рівняннями прямої в називають рівняння , (16.2)

де - точка, що належить цій прямій, а вектор - її напрямний вектор.

Параметричні рівняння прямої в мають вид

, (16.3)

де - точка, що належить цій прямій, - її напрямний вектор, а -параметр, що набуває будь-яких дійсних значень.

 

 

 

 

Рис.15

 

 

17. Кут між двома прямими, а також прямою і площиною в . Паралельність і перпендикулярність прямих і площин.

Під кутом між двома прямими в розуміють кут, що утворюють їх напрямні вектори і :

. (17.1)

 

II

 

 

I

 

 

Рис.16

Тому прямі паралельні, якщо їх напрямні вектори і паралельні, тобто

(17.2)

Відповідно прямі перпендикулярні, якщо перпендикулярні їх напрямні вектори і :

. (17.3)

 

 

Кутом між прямою і площиною називається один із суміжних кутів або , утворених даною прямою та її проекцією на цю площину.

Нехай площину і пряму задано відповідно рівняннями

і .

Тоді кути, утворені прямою і площиною, визначаються за формулою

. (17.4)

 

 

Рис.17

 

Відповідно площа і пряма паралельні, якщо

(17.5)

і перпендикулярні, якщо

(17.6)

 

 

Криві другого порядку.

Загальне рівняння кривої другого порядку, що лежить у площині , має вигляд

де xoча б одне з чисел відмінно від нуля.

Виявляється, що всі криві другого порядку можна поділити на кола, еліпси, гіперболи, параболи та їхні виродження - точки або прямі.

 

 

18. Еліпс.

Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней кожної з яких від двох заданих точок цієї самої площини, що називаються фокусами, є величиною сталою і більшою, ніж відстань між фокусами.

Нехай на площині дано дві точки і , що називаються фокусами еліпса. Систему координат розмістимо так, щоб вісь абсцис проходила через ці точки, а вісь ординат ділила відстань між ними навпіл.

Позначимо відстань між фокусами еліпса через , тоді , а . Величина називається фокальною відстанню. Знайдемо геометричне місце точок, сума відстаней від кожної з яких до даних точок і стала і дорівнює .

Візьмемо довільну точку площини . Позначимо відстань її до точок і відповідно через і . Точка буде точкою еліпса, якщо , де і - фокальні радіуси точки еліпса. За формулою відстані між двома точками маємо , .Тоді дістаємо

 

 

Це рівняння є аналітичним рівнянням еліпса, але після деяких перетворень в ньому можна звільнитися від ірраціональності і звести до вигляду

, (18.1)

де позначено . Рівняння (18.1) називається канонічним рівнянням еліпса.

Тепер фокальні радіуси точки еліпса дістають значення

 

 

 

 

 

 

Рис.18

 

 

Властивості еліпса:

1. Із рівняння (18.1) випливає, що тобто еліпс є обмеженою кривою.
2. Із рівняння (18.1), яке має поточні координати у парних степенях, дістаємо, що коли точка належить еліпсу, то і точки також належать еліпсу. Отже, еліпс має вертикальну та горизонтальну осі симетрії, а також центр симетрії (в канонічній системі координат це осі та початок координат).
3. Еліпс перетинає осі симетрії у точках, які називаються вершинами еліпса. Для (18.1) це точки Величини і називаються відповідно великою та малою осями еліпса, а - напівосями.
4. Якщо у рівнянні (18.1) (тобто ), то дістанемо рівняння кола з центром у початку координат і радіусом . Таким чином, коло – уе еліпс, у якого фокуси збігаються з центром симетрії.
5. Для характеристики еліпса вводять відношення яке називається ексцентриситетом і характеризує відхилення еліпса від кола – степінь його “витягнутості”. Для кола для еліпса
6. Прямі назиаються директрисами еліпса. Оскільки то тобто директриси еліпса лежать поза ним. Характерна особливість директрис полягає в тому, що відношення фокального радіуса будь-якої точки еліпса до відповідної відстані до директриси є величиною сталою, що дорівнює ексцентриситету еліпса:

 

 

Гіпербола

 

Гіперболою називається геометричне місце точок площини, модуль різниці відстаней кожної з яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величиною сталою і меншою за відстань між фокусами.

Використаємо прямокутну систему координат і позначення з п.18. Тоді рівняння гіперболи можна записати у вигляді

причому

Згідно з формулами

рівняння гіперболи можна подати у вигляді

Внаслідок перетворень останнього рівняння знаходимо

, (19.1)

де

Рівняння (19.1) називається канонічним рівнянням гіперболи.

Гіпербола складається з двох гілок. Ліва гілка лежить у півплощині а права – у площині

Рівняння фокальних радіусів точки гіперболи знаходять так само, як і для еліпса. Дл лівої гілки гіперболи ці рівняння мають

 

вигляд

 

а для правої

 

 

 

 

 

 

Рис.19

 

 

Властивості гіперболи:

1. З рівняння (19.1) випливає, що гіпербола є необмеженою кривою.
2. Канонічне рівняння гіперболи має поточні координати у парних степенях, отже, гіпербола, як і еліпс, має дві осі симетрії і центр симетрії (для (19.1) це осі та початок координат).
3. Гіпербола перетинає лише одну з осей симетрії. Ці дві точки називаються вершинами гіперболи. Для (19.1) це
4. Гіпербола має дві асимптоти – прямі, що проходять через центр симетрії гіперболи і кути основного чотирикутника із сторонами (дійсна вісь) і (уявна вісь гіперболи).
5. Ексцентриситет гіперболи
6. Прямі називаються директрисами гіперболи. Вони мають ту саму властивість, що й для еліпса, тобто

 

Парабола

Нехай на площині дано точку і пряму яка не проходить через Геометричне місце точок площини, рівновіддалених від фіксованої точки та фіксованої прямої називається параболою. Точка називається фокусом, а пряма - директрисою.

Візьмемо таку систему кординат , щоб вісь абсцис проходила через фокус перпендикулярно до прямої а вісь ординат ділила відстань між фокусом і директрисою навпіл. Відстань між фокусом і директрисою параболи позначимо через За означенням тоді точка має координати а рівнянням директриси є

Нехай - довільна точка площини. Точка , за означенням, буде точкою параболи тоді і тільки тоді, коли

Знаходимо

Отже,

або

(20.1)

Рівняння (20.1) називається канонічним рівнянням параболи.

 

 

 

 

Рис.20

 

Властивості параболи:

1. Парабола є необмеженою кривою.
2. Парабола має лише одну вісь симетрії (для (20.1) – це вісь абсцис).
3. Парабола має одну вершину (для (20.1) вона лежить в початку координат).

 

 

Література

 

1. М.Бугір. Математика для економістів.Лінійна алгебра, лінійні моделі. – К.: “Академія”, 1998.
2. І.П.Васильченко.Математика для економістів. – К.: “Знання”, 2004.
3. П.П.Овчинников, Ф.П.Яремчук, В.М.Михайленко. Вища математика. Частина 1. – К.: “Техніка”, 2000.
4. А.С.Солодовников, В.А.Бабайцев, А.В.Браилов. Математика в экономике. – М.: “Финансы и статистика”, 1999.