Визначники та їх основні властивості.

 

 

Квадратній матриці

(3.1)

можна поставити у відповідність певне число, яке називаєься детермінантом або визначником матриці і позначається

. (3.2)

Визначник має порядок, який дорівнює порядку відповідної матриці. Поняття детермінанта вводиться лише для квадратних матриць. Діагональ, що йде із лівого верхнього кута визначника, називається головною, а та, що йде із правого верхнього, - побічною.

Розглянемо деякий елемент матриці квадратної , що стоїть на перетині го рядка та -го стовпця, і побудуємо матрицю го порядку без цього рядка і стовпця. Визначник її називається мінором матриці , що відповідає елементу , і позначається . Алгебраїчним доповненням елемента називається .

Для визначників 2-го і 3-го порядків існують досить прості правила обчислювання, для інших порядків ми дамо спільне правило обчислювання.

1) (3.3)

 

 

2)

(3.4)

Для довільного визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення цих елементів: , (3.5)

Формули (3.5) називаються розкладом детермінанта за елементами рядка або стовпця і при набувають вигляду (3.3), (3.4).

Приклад 1.

Приклад 2.

Приклад 3.

Властивості визначників.

1) Якщо всі елементи деякого рядка чи стовпчика визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

2) Якщо у визначнику поміняти місцями два сусідні рядки чи стовпчики, то знаки таких визначників будуть протилежними, а їх абсолютні величини рівними.

3) Визначник з двома однаковими рядками чи стовпчиками дорівнює нулю.

4) Якщо всі елементи якого-небудь стовпя (рядка) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника.

5) Визначник, елементи двох стовпців (рядків) якого відповідно пропорціональні, дорівнює нулю.

6) Якщо кожний елемент якого-небудь стовпця (рядка) є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких стовпцями (рядками) є відповідні доданки, а решта збігається із стовпцями (рядками) заданого визачника.

7) Визначник не зміниться, якщо до елементів якого-небудь його стовпця (рядка) додати відповідні елементи іншого стовпця (рядка), помножені на одне і те саме число.

8) Сума добутків елементів деякого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

 

Приклад 4.

 

1) 2)

 

3) 4) 5)

 

6)

 

7)

 

 

4. Правило Крамера для розв`язування систем лінійних рівнянь.

Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими:

Принаймні одне з чисел не дорівнює нулю. Нехай це . Тоді маємо

.

 

Якщо розв`язок системи існує і має вигляд

 

Узагальненням цього факту буде так зване

Правило Крамера. Система рівнянь з невідомими, якщо детермінант системи (визначник, складений із коефіцієнтов при невідомих) не дорівнює нулю, має один і тільки один розв`язок

де - визначник, утворений із визначника заміною коефіцієнтів невідомого (тобто го стовпчика в ) вільними членами системи

 

Приклад 1. Розв`язати систему рівнянь за методом Крамера:

 

Розв`язування.

За правилом Крамера маємо

 

 

Зауваження. Якщо правило Крамера має більш теоретичне значення тому, що виникає необхідність обчислювати визначників високого порядку, а це займає багато часу.

 

 

1. Обернена матриця. Матричний спосіб розв`язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Матрицею , оберненою до квадратної матриці називається така, для якоїсправедлива рівність

.

Матриця, визначник якої не дорівнює нулю, називається невиродженою.

Для того, щоб дана матриця мала обернену, необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.

Щоб знайти матрицю , обернену до даної матриці , треба:

а) знайти визначник даної матриці ; якщо , то дана матриця має обернену;

б) скласти матрицю з алгебраїчних доповнень ;

в) транспонувати її;

г) побудувати обернену матрицю за формулою .

 

Приклад 1. Знайти матрицю, обернену до матриці

.

Розв`язання. Знаходимо визначник

Обчислюємо алгебраїчні доповнення елементів даної матриці:

,

.

Щоб переконатися, що результат вірний, треба переконатися, що :

.

 

Тепер розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими і запишемо її в матричній формі:

, (5.1)

де , , .

Припустимо, що матриця невироджена, тобто і існує обернена матриця . Помножимо обидві частини рівняння (5.1) на зліва:

Оскільки і , то

.

Приклад 2. Розв`язати матричним способом систему рівнянь

.

Розв`язання. В нашому випадку

.

матриця невироджена і існує обернена .

За формулою (5.1) маємо

.

Отже