Обчислення визначників вищих порядків.

Визначник п порядку дорівнює сумі добутків усіх елементів будь-якого стовпця (або рядка) на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

У випадку використання і -го рядка це правило математично виглядає так

Цю рівність називають розкладом визначника за елементами і-го рядка.

Обчислення визначника п порядку зводиться до обчислення п визначників (п-1) порядку. Для скорочення обчислень визначник доцільно розкладати за елементами рядка або стовпця, який містить найбільшу кількість нулів. До нулів не треба знаходити алгебраїчних доповнень тому, що добуток 0 на його алгебраїчне доповнення дорівнює нулю. Властивості визначника дозволяють робити еквівалентні перетворення визначника і одержувати якомога більше нулів в деякому рядку або стовпці.

1. Обчисліть визначник

Виконаємо такі дії: 1) до елементів 1-го рядка додамо помножені на -3 відповідні елементи 2-го рядка; 2) до елементів 3-го рядка додамо подвоєні елементи 2-го рядка; 3) до елементів 4-го рядка додамо відповідні елементи 2-го рядка, помножені на -1. Тоді вихідний визначник перетвориться до вигляду.

Розклавши цей визначник по елементах 1-го стовпця, маємо

Додамо до елементів 1-го рядка елементи 3-го рядка і віднімемо від елементів 2-го рядка елементи 3-го рядка, одержимо

Розкладемо визначник по елементах 1-го стовпця.

2. Обчисліть визначник п^’ятого порядку

Для перетворення в нуль всіх елементів (крім одного) будь-якого рядка чи стовпця, вибираємо той рядок або стовпчик, який складається з найменших чисел. У визначнику таким буде другий стовпчик. Залишимо в ньому без змін елемент а₂₂=-1, а всі інші перетворимо в нулі. Для цього виконаємо:

Одержимо:

Розкладемо визначник по елементах другого стовпця.

В одержаному визначнику вже 4-го порядку з найменших елементів складається 4-ий рядок. Перетворимо в нулі всі його елементи, крім а₄₂=-1. Для цього виконаємо

(І_ст+(-3)ІІ_ст, ІІІ_ст+2 ІІ_ст, ІV_ст+3 ІІ_ст). В результаті одержимо:

Розкладемо визначник по елементах четвертого рядка

(Ми винесли за знак визначника спільний множник з елементів другого рядка і спільний множник з елементів третього рядка).

Для зменшення елементів цього визначника додамо перший стовпець до другого та третього:

Останній визначник розклали по елементах третього стовпця.

3. Обчислити визначник n-го порядку, звівши його до трикутного вигляду:

.

Δ Віднімемо І рядок від усіх інших.

До І стовпця додамо суму всіх інших.

 

 

Ранг матриці.

Нехай задано матрицю А_{т х п} = А. Виділимо в матриці А будь-які k рядків і стільки ж стовпців, де k — число, не більше чисел т і п, тобто k min (т, п).

Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перети­ні виділених рядків і стовпців, називається мінором k -гo порядку мат­риці А.

Рангом r (А) матриці А називається найбільший з порядків її мі­норів, відмінних від нуля.

Безпосередньо з означення випливає, що:

1) Ранг існує для будь-якої матриці А_{т х п} , причому

2) r (A) = 0 тоді і тільки тоді, коли А = 0;

3) для квадратної матриці п -го порядку ранг дорівнює п тоді і тіль­ки тоді, коли матриця невироджена.

Ранг матриці можна знайти так. Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то r = 0. Якщо хоч один з мі­норів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого по­рядку дорівнюють нулю, то r = 1. У випадку, коли є мінор другого по­рядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінори третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори по­рядку k дорівнюють нулю, або мінорів порядку k не існує, тоді r = k- l.

Приклад

Знайти ранг матриці

О Серед мінорів першого порядку (тобто елементів матриці) є відмінні від нуля) тому r (А) 1.

Оскільки один з мінорів другого порядку

а всі мінори третього порядку дорівнюють нулю, то r (А) = 2. •

Вказаний метод знаходження рангу матриці не завжди зручний, тому що пов'язаний з обчисленням значного числа визначників. Про­стіший метод ґрунтується на тому, що ранг матриці не змінюється, якщо над матрицею виконати так звані елементарні перетворення, а саме [1]:

а) переставити місцями два рядки (стовпці);

б) помножити кожен елемент рядка (стовпця) на один і той самий відмінний від нуля множник;

в) додати до елементів рядка (стовпця) відповідні елементи друго­го рядка (стовпця), помножені на одне і те саме число.

Розглянемо довільну (не обов’язково квадратну) матрицю A. Рангом r (A) цієї матриці називається найвищий порядок її мінора, що не дорівнює нулю.

Приклад. Матриця має три мінори третього поряду (всі з яких дорівнюють нулю), дев’ять мінорів другого порядку (з яких деякі дорівнюють нулю, а деякі – ні) та 12 мінорів першого порядку. Отже, для цієї матриці ранг r (A)=2.

 

Обернена матриця.

Матриця А ^-1 називається оберненою до квадратної матриці А, якщо добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці, тобто АА^-1=А^-1А=Е.

 

Обернена матриця існує для всякої квадратної матриці А, яка є невиродженою, тобто коли визначник матриці detA ≠ 0.

 

Алгоритм знаходження оберненої матриці:

 

1. Обчислити визначник матриці А. Якщо detA ≠ 0, то матриця А має обернену, в іншому випадку оберненої матриці не існує.

2. знайти транспоновану матрицю А^Т

3. Обчислити алгебричні доповнення А_ij елементів матриці А^Т.

4. Визначити обернену матрицю за формулою:

.

1. Знайти матрицю, обернену до матриці і перевірити, чи справджуються рівності .

Розв’язання:

Знайдемо визначник матриці: .Оскільки , обернена матриця існує. Знаходимо алгебричні доповнення: А₁₁= 3, А₁₂= -1, А₂₁ = -2, А₂₂ = 1. Тоді обернена матриця буде мати вигляд:

.

 

Перевіримо, чи виконуються рівності :

;

 

.

Отже .