Основні поняття та означення функції багатьох змінних.

Способи задання функції. Область визначення. Графіки. Лінії рівня.

На практиці досить часто функція y залежить не від однієї змінної x, а від багатьох аргументів x ₁,…, x _n.

Означення. Множина значень { x ₁,…, x _n}, за яких вираз f (x ₁,…, x _n) має зміст, називається областю визначення функції від n змінних y = f (x ₁,…, x _n).

Приклади.

1. Функція від двох змінних z =3 x +5 xy + y ². Область визначення цієї функції - всі пари дійсних чисел (x; y).

2. Функція від чотирьох змінних y =2 x ₁+3 x ₂- x ₃+7 x ₄.

3. Функція від трьох змінних V=V (a, b, c)= a×b×c. Об’єм паралелепіпеда є функцією від довжин його сторін.

4. Функція від двох змінних Q = F (K, L). Обсяг випущеної продукції Q є функцією від кількості затраченого капіталу K та кількості затраченої праці L. Областю визначення цієї функції є множина { K ³0; L ³0}.

5. Область визначення функції визначається з нерівності 100- x ²- y ²³0, тобто x ²+ y ²£10². Це круг з центром у початку координат і радіусом r = 10.

Функція від двох змінних (аргументів) f(x, y) представляє собою деяку поверхню в трьохвимірному просторі. Зокрема, графіком функції є верхня половина сфери (рис. 6.1).

z

 

6 8 10 y

 

x

Рис. 6.1.

Функції від двох змінних геометрично зображають також за допомогою ліній рівня (ліній однакового рівня, ізоліній).

Означення. Лінією рівня функції від двох змінних z = f (x, y) називається множина точок площин OXY таких, що f (x, y)=const= C.

Прикладом ізоліній є паралелі та меридіани.

Приклади.

1. Побудуємо лінії однакового рівня функції . При C =0 маємо тобто x ²+ y ²=10² (коло з радіусом r =10, рис.6.2).

При C =6 отримуємо тобто x ²+ y ²=8². Отже лінією рівня, яка відповідає константі C =6, є коло з радіусом r = 8.

При C =8 отримуємо ізолінію (неявну функцію y від x) x ²+ y ²=6².

 

 

y

 

6 8 10 x

Рис. 6.2.

2. Для випуску продукції Q використовують ресурси x ₁ та x ₂. Виробнича функція має вигляд Q =10 x ₁+20 x ₂ (ресурси повністю взаємозамінні, наприклад, цвяхи та шурупи).

Зобразити ізолінії для Q=Q (x ₁, x ₂) (лінії однакової кількості (quantity) продукції, ізокванти).

Очевидно, що при C =60 ізолінія (ізокванта) – це відрізок прямої 10 x ₁+20 x ₂=60, а при C =40 – відрізок прямої 10 x ₁+20 x ₂=40 (рис. 6.3).

(Ресурс x ₁)

4 Q =60

3

2 Q =40

1

1 2 3 4 5 6 (Ресурс x ₂)

Рис. 6.3.

3. Виробнича функція має вигляд Q =min{10 x _1,20 x ₂} (ресурси повністю взаємодоповнюючі, наприклад, калійні та азотні добрива).

Тоді в точках (x ₁=2, x ₂=1), (x ₁=4, x ₂=1), (x ₁=2, x ₂=3) значення Q =40. У точках (x ₁=4; x ₂=2) та (x ₁=4; x ₂=4) випуск набуває значення Q =80. На рис. 6.4 зображені лінії однакового рівня (ізокванти) для кількості продукції Q.

(Ресурс x ₁)

5

2 Q =80

1 Q =40

1 2 3 4 5 (Ресурс x ₂)

 

Рис. 6.4.

 

Зазначимо, що в другому та третьому прикладах зобразити функцію Q=Q (x ₁, x ₂) геометрично в тривимірному просторі дуже складно.

 

 

Похідна за напрямом. Градієнт.

Нехай функція z=f(x;y) визначена на деякому околі т. Р₀(х₀;у₀);

l - деякий промінь з початком у точці Р₀(х₀;у₀);

Р(х;у) – точка на цьому промені, яка належить околу, що розглядається

Dl- довжина відрізка Р₀Р.

 

Границя

, якщо вона існує, називається похідною за напрямом.

 

Похідна характеризує швидкість змінювання функції у точці Р₀(х₀;у₀) за напрямом .

 

 

Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання функції z=f(x;y) у точці Р₀(х₀;у₀), називається градієнтом у цій точці .

 

Частинні похідні та диференціали

Вищих порядків.

Для функцій двох та багатьох змінних , розглянемо частинні похідні.

Частинною похідною функції по одній змінній називають скінченну границю виду:

де та – частинний приріст функції по одній змінній.

Повним диференціалом функції багатьох змінних називається головна лінійна частина приросту функції. Для функції повний диференціал має вигляд

.

Повний диференціал функції багатьох змінних застосовується до наближених обчислень, вважаючи, що .

Частинні похідні знаходяться за правилами та формулами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи решту змінних сталими величинами.

Частинною похідною n-го порядку функції багатьох змінних по одній змінній називають першу похідну від -ї похідної.

 

Приклад. Знайти частинні похідні другого порядку функції

.

Розв’язання. Знайдемо частинні похідні першого порядку по кожній змінній:

Від кожної частинної похідної першого порядку та знайдемо першу похідну по кожній змінній. Це будуть частинні похідні другого порядку і їх буде чотири:

Мішані похідні, які відрізняються порядком диференціювання, , рівні між собою. Ця умова виконується у випадку їх неперервності.

 

Приклад. Знайти , якщо .

Розв’язання. Знайдемо частинну похідну функції тільки по або по , а потім від неї знайдемо першу похідну по іншій змінній. Одержимо

 

Задача. Знайти рівняння прямої методом найменших квадратів, користуючись таблицею значень

.

Розв’язання. Згідно методу найменших квадратів для знаходження параметрів і прямої використовують систему рівнянь:

(34)

Для простоти складання системи (34) складемо таблицю значень:

Відповідь. Рівняння прямої має вигляд .

 

Неявні функції.

Похідні неявних функцій.

Частинні похідні неявної функції , заданої рівнянням , можуть бути обчисленні за формулами:

, . (2.8)

Знайти похідну від функцій, заданих неявно:

а) .

.

Знайдемо частинні похідні: , .

За формулою (2.7) маємо: .

б) .

.

, .

За формулою (2.7) маємо: .

Нехай потрібно знайти похідну у тому випадку, коли функція задана неявно у вигляді . Узявши від функції F (x, y) повний диференціал, отримуємо

звідки .

Приклад.

Знайти похідну якщо

Маємо

звідки .