Найбільше і найменше значення функції в замкненій області

Для знаходження найбільшого і найменшого значень функцій у замкненій області , які позначаються і , відповідно, необхідно знайти екстремальні значення функції в точках, що лежать всередині та на межі області, і обрати найбільше і найменше значення.

ä Приклад. Знайти екстремум функції

Знаходимо частинні похідні

Стаціонарні точки функції визначимо із системи:

Додаючи ці рівняння, знайдемо , звідки .

Підставляючи в перше рівняння, дістанемо , звідки , , тоді ,

Отже, функція має три стаціонарні точки:

Знайдемо величину . Оскільки

то

Обчислимо величину в кожній стаціонарній точці:

Таким чином, точки і – точки мінімуму. В цих точках

У точці значення , тому скористатися теоремою про існування екстремуму не можна.

Переконаємося, що в цій точці екстремум відсутній.

Якщо , то в околі точки .

Якщо , то . Отже, в околі точки значення можуть бути як додатні, так і від’ємні, а це значить, що точка не є екстремальною.

ä Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції в трикутнику, обмеженому лініями

Спочатку знайдемо критичні точки всередині області:

Згідно з необхідними умовами існування екстремуму функції двох змінних маємо систему рівнянь

Всередині області , тому

В критичній точці маємо

Тепер проведемо дослідження функції на межі трикутника.

На прямій змінна і функція приймає вигляд

Знайдемо найбільше та найменше значення цієї функції однієї змінної х на замкненому відрізку

Із рівності знаходимо: , звідси випливає, що та Отже,

При та

На прямій маємо

Отже, задана функція має найбільше значення в точці всередині області, найменше значення – в точці на межі області.

Найбільше значення

найменше значення

6. Умовний екстремум функції багатьох змінних. Метод множників Лагранжа та його застосування в економіко-математичних моделях планування виробництва

 

Нехай в області задано функцію і лінію , яка визначається рівнянням та лежить в цій області.

Задача полягає в тому, щоб на лінії знайти таку точку , в якій значення функції є найбільшим або найменшим порівняно із значеннями цієї функції в інших точках лінії . Такі точки Х називають точками умовного екстремуму функції на лінії . На відміну від звичайного екстремуму значення функції в точці умовного екстремуму порівнюється із значеннями цієї функції не в усіх точках області , а лише в точках, які лежать на лінії .

Умовні екстремуми часто використовуються при дослідженні оптимізації багатьох економічних та соціальних проблем.

Для знаходження умовного екстремуму скористаємося методом множників Лагранжа.

1) Записати функцію Лагранжа вигляду

.

2) Знайти критичні точки функції Лагранжа, використовуючи необхідні умови існування екстремуму:

3) Перевірити в кожній критичній точці достатні умови існування екстремуму:

а) знайти :

б) встановити знак, знайденого диференціала: якщо в точці диференціал , то ця точка є точкою умовного мінімуму,

якщо в точці диференціал , то ця точка є точкою умовного максимуму.

4) Знайти значення функції у точках екстремуму.

 

Для функції з рівняннями та функція Лагранжа запишеться у вигляді

.

Стаціонарні точки умовного екстремуму знаходяться із системи рівнянь

а достатні умови існування умовного екстремуму в цих точках можна визначити за знаком диференціала :

 

ä Приклад. Дослідити на умовний екстремум методом множників Лагранжа функцію при заданих обмеженнях

Складемо функцію Лагранжа

Знайдемо її частинні похідні за всіма змінними та прирівняємо їх до нуля.

Розв’яжемо дану систему за допомогою оберненої матриці:

.

.

Отже, за формулою оберненої матриці:

.

Отже, шуканий результат:

Отже,

Точка – екстремальна точка.

Знайдемо повний диференціал другого порядку функції Лагранжа.

з диференціювання обмежень.

Отже, точка – точка мінімуму.

$$$ Аналіз задач з економіки за допомогою виробничих функцій

Важливим елементом мікро- та макроекономічної теорії раціонального ведення господарства є, з одного боку, виробник, який витрачає економічні ресурси для виготовлення продукції і послуг, а з іншого – технологічні процеси, пов’язані з виробництвом.

У бізнесі маргінальною продуктивністю виробництва називають гранично можливу продуктивність при умові постійного відтворювання виробництва.

Кількість та якість кінцевого випуску будь-якої продукції фірми залежить від багатьох факторів, які фірма може змінювати. Найбільш важливі фактори – продуктивність праці та вкладений у виробництво капітал.

При вивченні економічних процесів у сучасному великомасштабному виробництві буває надзвичайно важко зібрати необхідну інформацію для побудови моделі, яка враховує внутрішні особливості виробництва.

Подібні міркування лежать в основі теорії виробничих функцій. У ній була здійснена спроба визначити емпіричним способом вплив витраченого капіталу і праці на обсяг випущеної продукції переробною промисловістю. Ставилися задачі:

1) визначити клас функцій, який найкраще описує співвідношення між трьома вибраними характеристиками виробничої діяльності;

2) знайти числові параметри, що задають конкретну функцію;

3) порівняти одержані результати з фактичними даними.

Д. Кобб запропонував функцію вигляду , де – обсяг випущеної продукції, – обсяг основного капіталу, – витрати праці, – числові параметри, що задовольняють умову .

Такий вибір функції був зумовлений такими причинами: 1) з нелінійних функцій вона є однією з найпростіших і логарифмуванням зводиться до лінійної; 2) вона враховує нульовий ефект виробництва, тобто якщо один із чинників дорівнює нулю, то й виробнича функція дорівнює нулю. Економічно це означає, що не витрачаючи жодного з видів фондів, не одержимо продукції.

Для того, щоб дати означення виробничої функції, введемо простір витрат . Нехай – кількість витрат -го виду. Вектор витрат

. Тоді .

Припустимо, що компоненти вектора змінюються неперервно. Тоді кожній точці простору витрат можна поставити у відповідність (максимальний) випуск продукції, виготовленої з використанням цих витрат.

Функцію, що описує технологічний зв’язок між випуском продукції і витратами, називають виробничою функцією. Вона задає відображення будь-якого вектора витрат у невід’ємне число – максимальний випуск продукції.

Припустимо також, що виробнича функція неперервно двічі диференційована. Таке її означення легко допускає узагальнення на випуск кількох видів продукції.

У цьому випадку виробнича функція – це відображення, що моделює випуск т видів продукції у виробничому процесі з використанням п видів сировини.

Для конкретності розглянемо двофакторну виробничу функцію

, (4)

де – кінцевий результат, наприклад, кількість одиниць випущеної фірмою продукції, – кількість одиниць праці, – сума капіталу, вкладеного фірмою у виробничий план. Величина може вимірюватися річними робочими годинами або річною вартістю праці у гривнях.

Функцію можна розглядати як функцію двох змінних. Ця функція називається продуктивною функцією.

У деяких випадках та залежні. Наприклад, фірма впровадила у виробництво нове обладнання (змінна зросла на величину ), яке дозволило скоротити кількість праці у три рази. У цьому прикладі можна встановити функціональну залежність між та .

У загальних випадках та розглядають як незалежні змінні.

Частинну похідну першого порядку називають граничною продуктивністю праці при фіксованому , а називають граничною продуктивністю капіталу при фіксованій продуктивності праці .

Прибутки виробництва зростають, якщо зростає при фіксованому , тобто коли

характеризує зміну випуску продукції при постійних трудових затратах.

У теорії ймовірностей виробничі функції ототожнюють з кореляційними. Це зумовлено тим, що в задачах з економіки доводиться аналізувати значну сукупність статистичних даних, що спостерігаються протягом деякого періоду. Виробничі функції застосовують для аналізу ефективності використання ресурсів. За підсумковий показник часто беруть такі економічні величини, як прибуток, собівартість, випуск продукції тощо, як чинники вибирають витрати праці, засоби виробництва, застосування потужностей і т.д.

Економічний аналіз виробничого процесу за допомогою виробничої функції здійснюється з урахуванням таких економічних категорій:

1) середніх і граничних значень ефективності;

2) коефіцієнтів еластичності;

3) коефіцієнтів заміщення.

Середні показники ефективності визначаються за формулою

. (5)

Для функції (4) такими будуть середня продуктивність праці і середня фондовіддача . За означенням середня продуктивність праці є відношенням обсягу виробленої продукції до кількості витраченої праці, а середня фондовіддача – відношенням обсягу виробленої продукції до основних фондів. Зокрема, для функції така залежність є спадною функцією вартості виробленої продукції . Економічно це можна трактувати так: зі збільшенням витрат середня продуктивність праці спадає. Цей факт допускає природне пояснення: оскільки значення чинника залишається без зміни, нова робоча сила не буде забезпечена додатковими засобами виробництва, що призводить до зниження продуктивності праці. З цієї причини при аналізі виробничого процесу за формулою (4) важливу роль відіграє фондоозброєність праці , що виражає обсяг основних фондів, який припадає на одного працюючого.

Поряд із середніми характеристиками функції (4) важливу роль відіграють також граничні характеристики, які виражаються частинними похідними першого порядку і називаються граничними продуктами:

.

Так, гранична продуктивність праці характеризує додатковий ефект від кожної витраченої додаткової одиниці праці в заданій точці фазової площини. Для функції Кобби-Дугласа

.

Оскільки , гранична продуктивність праці пропорційна середній продуктивності праці з коефіцієнтом і менша від неї. Те саме можна сказати також про граничну фондовіддачу.

Названі характеристики є розмірними величинами, пов’язаними з абсолютними приростами.

Обмеження, що накладаються на другі похідні, виділяють опуклу підмножину економічної області , стосовно якої матриця Гессе

G М атриця Гессе – це матриця виду . Головні мінори матриці мають вигляд

;...; .

Матриця Гессе додатно визначена, якщо – умови мінімуму; матриця від’ємно визначена, якщо – умови максимуму.

(7)

від’ємно визначена для усіх х, тобто

(8)

Співвідношення (6) називають законом спадної віддачі. Витрати одного виду додаються до фіксованих обсягів інших витрат. У кінцевому випадку досягається особлива область, де граничний продукт витрат знижується.

Виробнича функція в області, де виконуються умови (6) і (8), характеризується прибутком від розширення масштабів виробництва і „можливостями заміщення”, тобто вказує поведінку випуску продукції, коли всі витрати змінюються в однаковій пропорції. Припустимо, що в деякій точці х усі витрати множаться на число а, тобто . Можливі три різні випадки:

(9)

У першому випадку виробнича функція характеризується постійним прибутком від розширення виробництва. Так, підвищення всіх витрат у 3 рази збільшить кінцеву продукцію також у 3 рази. У двох інших випадках вона зростає повільніше або швидше, ніж масштаби виробництва. Локальним показником вимірювання доходу від розширення виробництва є еластичність виробництва

. (10)

Частинні коефіцієнти еластичності випуску відносно витрат -го виду визначає вираз . Тоді .

Коефіцієнти еластичності характеризують відсоток приросту продукції при збільшенні витрат ресурсу на 1%. Так. Для функції (4) коефіцієнт еластичності

. (11)

Нехай приріст основних фондів при фіксованих трудових ресурсах дає приріст продукції . Тоді збільшення основних фондів на відповідає зміні випуску обсягу продукції на . Отже, при збільшенні обсягу основних фондів на 1% обсяг випуску зміниться на . Перейшовши до границі при , матимемо формулу (11). Для функції Кобба-Дугласа коефіцієнти є сталими .

Особливістю реальних виробничих процесів є можливість заміщення одного чинника іншим. Необхідність заміни одного чинника іншим пов’язана з тим, що він може бути дефіцитним і тому виникає потреба замінити його більш доступним.

Граничною нормою заміщення чинників називають відношення

.

Локальною мірою заміщення двох чинників, наприклад і , коли решта витрат залишаються незмінними, може бути еластичність заміщення витрат і , що розраховується за формулою

Так як при малих приростах аргументу має місце наближена рівність , приріст логарифма змінної величини можна розглядати як відносний приріст самої величини. Таким чином, величина обернена коефіцієнту еластичності заміщення, показує наближено, на скільки відсотків зміниться відношення граничних продуктів при зміні відношення затрат ресурсів на 1%.

??? Контрольні питання

1. Що називається функцією двох змінних?

2. Що називається областю визначення функції?

3. Що називається функцією трьох змінних?

4. Що називається функцією п змінних?

5. Що називається границею функції при .

6. Що називається лінією рівня функції ?

7. Сформулювати означення неперервної функції двох змінних в точці і на множині точок.

8. Що називається замкненою обмеженою областю?

9. Яку функцію називають функцією Кобба-Дугласа?

10.Що називається частинною похідною функції двох змінних по одній з них?

11. Як визначають частинні похідні другого і третього порядку від функції двох змінних?

12. Сформулювати теорему про рівність других мішаних похідних.

13. Яка функція називається диференційованою?

14. Сформулювати достатні умови диференційованості функції двох змінних.

15. Що називається повним диференціалом функції двох, п змінних?

16. Як визначають диференціал п -го порядку?

17. Як знаходять похідну складної функції ?

18. Що називається повною похідною?

19. Які точки називаються точками локального екстремуму?

20. Сформулювати необхідні та достатні умови локального екстремуму функції кількох змінних.

21. Що таке умовний екстремум?

22. Що називається найбільшим і найменшим значенням функції багатьох змінних?

23. Описати спосіб знаходження умовного екстремуму.

24. Що називається функцією Лагранжа?

25. В чому полягає метод множників Лагранжа?

26. Що таке виробнича функція?

27. Яку залежність називають кореляційною?

28. За допомогою чого проводять економічний аналіз виробничого процесу?

29. Що таке економічна область?

30. Що називають граничними продуктами?

31. Що таке еластичність виробництва?

32. Що таке гранична норма заміщення чинників?