Границя функції багатьох змінних

Функція. Графік функції

 

За аналогією з функцією змінної можна розглянути функцію, яка залежатиме від кількох незалежних змінних . У загальному випадку

.

Означення. Якщо змінна величина залежить від незалежних змінних , то її називають функцією цих змінних, а функціональну залежність позначають так:

, або , де точка .

Незалежні змінні називають аргументами, а залежну змінну – функцією.

Означення. Сукупність усіх числових значень, які можуть приймати аргументи і при яких функція приймає певні дійсні значення, називають областю визначення функції і позначають або .

Якщо функція визначена для усіх з деякої області та її межі , тоді кажуть, що функція визначена у замкненій області .

Множину значень позначають або .

Означення 11. Графіком функції є деяка поверхня, яка проектується на площину в область визначення (рис.1).

Часто використовується перетин поверхні площиною . Криві лінії, які задовольняють умову , називаються лініями рівня (ізолініями).

 

Областю визначення деякої функції є множина точок тривимірного простору, а множина значень – множина дійсних чисел (рис. 2).

Функцію багатьох змінних можна задавати аналітично, таблично, графічно, за допомогою ліній рівня, мовно і за допомогою комп’ютерної програми.

 

ä Приклад. Знайти область визначення даної функції .

Оскільки областю визначення функції є множина , то для її відшукання розв’язуємо нерівність

Отже, .

Множиною граничних точок є , внутрішніх точок – , межових точок – . Ізольованих точок множина не має.

Множина не є замкненою, а, отже, і досконалою, оскільки точка , але . Множина є відкритою, оскільки точки , не є внутрішніми для .

 

Портфель цінних паперів

Інший приклад кривих байдужості виникає в теорії інвестицій.

Портфель цінних паперів (під портфелем будемо розуміти сукупність визначених цінних паперів у визначених кількостях) характеризується двома основними параметрами – очікуваною дохідністю і ризиком . Кожному портфелю можна поставити у відповідність точку на координатній площині , і тоді множина усіх можливих портфелів представляє деяку область (рис. 5).

Очевидно, що при рівних дохідностях інвестор надасть перевагу портфелю з меншим ризиком. Таким чином, криві байдужості – лінії рівня функції переваги – опуклі вниз. Точка , у якій лінія байдужості дотикається області , відповідає найкращому портфелю для інвестора.

Частинні похідні та диференціали першого порядку

Частинні похідні

 

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо змінній приросту , залишаючи змінну незмінною, так, щоб точка належала заданому околу.

Означення. Величина

називається частинним приростом функції по змінній х.

Аналогічно вводиться частинний приріст функції по змінній :

.

Означення. Якщо існує границя

,

то вона називається частинною похідною першого порядку функції в точці по змінній і позначається одним із таких символів

;

– частинні похідні по х в точці .

Аналогічно частинна похідна першого порядку функції по змінній визначається як

і позначається одним із символів:

.

Згідно з означенням, при знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної х, вважаючи змінну сталою, а при знаходженні похідної сталою вважається змінна х.

ä Приклад. Знайти частинні похідні функції .

ä Приклад. Потік пасажирів виражається функцією , де х – число мешканців, – відстань між містами. Знайти частинні похідні функції і пояснити їх зміст.

Похідна показує, що при одній і тій же відстані між містами збільшення потоку пасажирів пропорційне подвоєному числу мешканців. Похідна показує, що при одній і тій же чисельності мешканців збільшення потоку пасажирів обернено пропорційне квадрату відстані між містами.

Диференційована функція

Означення. Операція знаходження похідної називається диференціюванням функції по аргументу х, а точка – точкою диференціювання. Операція знаходження похідної називається диференціюванням функції по аргументу .

Означення. Функція називається диференційованою в точці , якщо повний приріст даної функції в цій точці

можна представити у вигляді

де – дійсні числа, а функції , такі, що

Означення. Функція називається диференційованою в області , якщо вона диференційована в кожній точці цієї області.

 

Теорема 1. Якщо функція диференційована в точці , то вона неперервна в цій точці.

Теорема 2. Якщо функція диференційована в точці , то в цій точці існують частинні похідні за змінними х та , до того ж

Теорема 3. Якщо функція має частинні похідні в околі точки , які неперервні в цій точці, то функція диференційована в точці .

 

Повний диференціал функції

Означення.Повним диференціалом функції двох змінних в точці називають головну частину повного приросту функції в даній точці, яка лінійно залежить від приростів незалежних змінних і , тобто

Повний диференціал функції в точці , де і – диференціали незалежних змінних, має вигляд:

або

.

ä Приклад. Знайти повний приріст і повний диференціал функції в точці , якщо

Оскільки

то а

Повний приріст і повний диференціал функції в точці обчислюватимемо за формулами:

Тоді різниця являє собою похибку, яка виникає від заміни повного приросту функції її повним диференціалом . Маємо:

 

Функція. Графік функції

 

За аналогією з функцією змінної можна розглянути функцію, яка залежатиме від кількох незалежних змінних . У загальному випадку

.

Означення. Якщо змінна величина залежить від незалежних змінних , то її називають функцією цих змінних, а функціональну залежність позначають так:

, або , де точка .

Незалежні змінні називають аргументами, а залежну змінну – функцією.

Означення. Сукупність усіх числових значень, які можуть приймати аргументи і при яких функція приймає певні дійсні значення, називають областю визначення функції і позначають або .

Якщо функція визначена для усіх з деякої області та її межі , тоді кажуть, що функція визначена у замкненій області .

Множину значень позначають або .

Означення 11. Графіком функції є деяка поверхня, яка проектується на площину в область визначення (рис.1).

Часто використовується перетин поверхні площиною . Криві лінії, які задовольняють умову , називаються лініями рівня (ізолініями).

 

Областю визначення деякої функції є множина точок тривимірного простору, а множина значень – множина дійсних чисел (рис. 2).

Функцію багатьох змінних можна задавати аналітично, таблично, графічно, за допомогою ліній рівня, мовно і за допомогою комп’ютерної програми.

 

ä Приклад. Знайти область визначення даної функції .

Оскільки областю визначення функції є множина , то для її відшукання розв’язуємо нерівність

Отже, .

Множиною граничних точок є , внутрішніх точок – , межових точок – . Ізольованих точок множина не має.

Множина не є замкненою, а, отже, і досконалою, оскільки точка , але . Множина є відкритою, оскільки точки , не є внутрішніми для .

 

Границя функції багатьох змінних

 

Нехай точка є точкою скупчення для області визначення функції , а – довільна точка множини .

Означення. Околом радіуса точки називають сукупність усіх точок простору , відстань яких до точки менше або дорівнює , тобто виконується співвідношення

Означення. Число називають границею функції в точці , або границею функції для , ..., , якщо для будь-якого існує таке , що з виконання нерівностей

...............,

випливає виконання нерівності

Це записується так:

або

Означення. Число називають границею функції в точці , якщо для будь-якого малого існує число таке, що із виконання нерівності

випливає справедливість нерівності

що записують

Означення (за Гейне). Число називають границею функції в точці , якщо для будь-якої послідовності точок , що збігається до точки , послідовність відповідних значень функції , тобто , ,..., , завжди збігається до числа , що записують

 

Теорема. Якщо , , і то:

1)

2)

3) (якщо ).

ä Приклад. Для даної функції і , якщо та точки визначити, чи існують границя функції в точці та повторні границі.

Нехай . Тоді . Якщо , то , оскільки множник , а множник обмежений. Отже, . Якщо , то , а якщо , то не має границі при . Тому повторна границя не існує. Разом з тим , оскільки множник , а функція

є обмеженою.

 

2. Неперервність функції багатьох змінних

 

Означення. Функція називається неперервною в точці , якщо границя даної функції в точці існує і дорівнює значенню функції в точці , тобто

незалежно від способу прямування точки до точки .

Означення. Функція називається неперервною в деякій області п -вимірного евклідового простору, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Означення. Якщо в точці функція не є неперервною, то вона називається розривною в цій точці, а точка називається точкою розриву функції.

Означення. Точки, в яких функція неперервна, називаються точками неперервності.

Властивості неперервних функцій двох змінних в замкненій обмеженій області:

1. Якщо функція неперервна в замкненій обмеженій області, то вона обмежена в цій області, тобто існує таке число , що для усіх точок області виконується нерівність

2. Якщо функція неперервна в замкненій обмеженій області, то в цій області існують точки, в яких функція набуває найбільшого і найменшого значень.

3. Якщо функція неперервна в замкненій обмеженій області і , де , то існує точка , в якій Зокрема, якщо , а , то в області існує точка , в якій

 

Теорема. Якщо і неперервні в точці , то:

а) – неперервна в точці ,

б) – неперервна в точці ,

в) – неперервна в точці .

 

ä Приклад. Знайти точки розриву функції .

Функція втратить зміст, якщо знаменник перетвориться в нуль. Але або – рівняння параболи. Отже, дана функція має лінією розриву параболу .

3. Економічна область. Задачі про оптимальний розподіл ресурсів. Функції корисності

 

Значна частина економічних механізмів ілюструється на рисунках, які зображають лінії рівня функції двох змінних . Наприклад, лінії рівня виробничої функції називаються ізоквантами.

Нехай і – два різних фактори виробництва, а функція характеризує випуск продукції, який дозволяють значення факторів і . На рис.3 лінії рівня зображені суцільними лініями, а штриховими виділена так звана економічна область, яка характеризується тим, що частини ізоквант, які вона відсікає, представляють собою графіки спадних функцій, тобто збільшення кількості одного фактора дозволяє зменшувати кількість другого, не змінюючи розміру випуску.

Означення. Множину значень факторів, які допускають заміщення одного з них іншим, називають економічною областю.