Частинні похідні вищих порядків

Частинні похідні та називають частинними похідними першого порядку. Вони є функціями змінних х і , отже, їх можна диференціювати.

Означення.Частинними похідними другого порядку називають частинні похідні від частинних похідних першого порядку.

Другі частинні похідні функції :

Інші позначення

Цей процес можна продовжити, тобто визначити частинні похідні третього, четвертого і т.д. порядків.

Деякі з частинних похідних третього порядку:

Похідні, в яких диференціювання здійснюється за різними змінними, називаються мішаними.

 

Теорема. Якщо функція має частинні похідні другого порядку і в деякому околі точки , які є неперервними в цій точці, то

 

Частинні похідні і повний диференціал функції багатьох змінних

Нехай дано функцію , визначену в деякій області .

За означенням

де – частинний приріст функції за змінною .

Означення. Частинний диференціал функції за змінною визначається формулою:

Означення.Повним диференціалом функції багатьох змінних називається сума всіх частинних диференціалів, що записуються так:

( бо – незалежні змінні).

ä Приклад. Знайти частинні похідні другого порядку функції

Спочатку знаходимо частинні похідні першого порядку

Тоді

 

ä Приклад. Знайти другий диференціал складної функції .

Нехай . Тоді

$$$ Визначити оптимальний розподіл ресурсів для функції випуску , якщо витрати на фактори х і – лінійні і задаються цінами

В точці , яка задає оптимальний розподіл ресурсів х і , лінія рівня функції витрат дотикається ізокванти . На економічній області ізокванта є частиною графіка функції . Лінія рівня функції витрат – це прямі , кутовий коефіцієнт яких .

Таким чином, умова дотику має вигляд

звідки і відповідно .

Таким чином, фактори х і необхідно розподілити у відношенні 4:3.

$$$ Об’єм продажу нового продукту х залежить від часу і витрат підприємства на рекламу. Якщо вимірювати тижнями, а в гривнях, тоді ця залежність має вигляд . Знайти і вказати економічний зміст цих похідних при

Маємо:

При одержимо

Частинна похідна характеризує швидкість зміни об’єму продажу нового продукту за тиждень, коли витрати на рекламу не змінюються.

Частинна похідна характеризує швидкість зміни об’єму продажу продукту при зміні суми витрат на рекламу і постійному . При витратах на рекламу 400 гривень швидкість зростання об’єму продажу продукту за один тиждень буде 0,11.

 

Екстремуми функції багатьох змінних