Еластичність функції. Попит на конкурентні товари

Поняття частинної похідної знаходить застосування в економічній теорії. Аналогічно до поняття еластичності функції однієї змінної вводиться поняття частинної еластичності функції декількох змінних відносно змінної :

.

Розглянемо частинні похідні і функції корисності. Вони називаються граничними корисностями . Якщо вимірювати кількість товару у вартісному виразі, то граничні корисності можна розглядати як функції попиту на відповідний товар. Знайдемо граничні корисності для функції постійної еластичності

.

Маємо тобто функції попиту з ростом вартості кожного товару є спадними, а параметри і представляють частинні еластичності попиту на ці товари.

Якщо розглядати попит як функцію декількох змінних, наприклад двох – ціни товару і доходів споживачів , тобто , то можна говорити про частинні еластичності попиту від ціни і попиту від доходів Наприклад, можна встановити, що для якісних товарів і для товарів низького гатунку, так як з ростом доходів попит на якісні товари збільшується, а на товари низького гатунку – зменшується.

Якщо при дослідженні попиту на даний товар розглядати вплив другого, альтернативного товару ціною , тобто розглядати попит як функцію трьох змінних , то можна ввести перехресний коефіцієнт еластичності попиту, який визначається за формулою і показує наближено відсоткову зміну попиту на даний товар при зміні ціни альтернативного товару на 1%. Очевидно, що для товарів, які взаємозамінюються , так як збільшення ціни одного товару призводить до збільшення попиту на інший. В той же час для взаємодоповнюючих товарів , бо в цьому випадку ріст ціни будь-якого товару призводить до зниження попиту.

Частинні похідні та диференціали першого порядку

Частинні похідні

 

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо змінній приросту , залишаючи змінну незмінною, так, щоб точка належала заданому околу.

Означення. Величина

називається частинним приростом функції по змінній х.

Аналогічно вводиться частинний приріст функції по змінній :

.

Означення. Якщо існує границя

,

то вона називається частинною похідною першого порядку функції в точці по змінній і позначається одним із таких символів

;

– частинні похідні по х в точці .

Аналогічно частинна похідна першого порядку функції по змінній визначається як

і позначається одним із символів:

.

Згідно з означенням, при знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної х, вважаючи змінну сталою, а при знаходженні похідної сталою вважається змінна х.

ä Приклад. Знайти частинні похідні функції .

ä Приклад. Потік пасажирів виражається функцією , де х – число мешканців, – відстань між містами. Знайти частинні похідні функції і пояснити їх зміст.

Похідна показує, що при одній і тій же відстані між містами збільшення потоку пасажирів пропорційне подвоєному числу мешканців. Похідна показує, що при одній і тій же чисельності мешканців збільшення потоку пасажирів обернено пропорційне квадрату відстані між містами.

Диференційована функція

Означення. Операція знаходження похідної називається диференціюванням функції по аргументу х, а точка – точкою диференціювання. Операція знаходження похідної називається диференціюванням функції по аргументу .

Означення. Функція називається диференційованою в точці , якщо повний приріст даної функції в цій точці

можна представити у вигляді

де – дійсні числа, а функції , такі, що

Означення. Функція називається диференційованою в області , якщо вона диференційована в кожній точці цієї області.

 

Теорема 1. Якщо функція диференційована в точці , то вона неперервна в цій точці.

Теорема 2. Якщо функція диференційована в точці , то в цій точці існують частинні похідні за змінними х та , до того ж

Теорема 3. Якщо функція має частинні похідні в околі точки , які неперервні в цій точці, то функція диференційована в точці .

 

Повний диференціал функції

Означення.Повним диференціалом функції двох змінних в точці називають головну частину повного приросту функції в даній точці, яка лінійно залежить від приростів незалежних змінних і , тобто

Повний диференціал функції в точці , де і – диференціали незалежних змінних, має вигляд:

або

.

ä Приклад. Знайти повний приріст і повний диференціал функції в точці , якщо

Оскільки

то а

Повний приріст і повний диференціал функції в точці обчислюватимемо за формулами:

Тоді різниця являє собою похибку, яка виникає від заміни повного приросту функції її повним диференціалом . Маємо: