Неперервність функції в точці і на відрізку

Нехай у = (х) і аргумент х змінюється від значення х = х₁, до значення х = х₂. Різницю між цими значеннями аргументу нази­вають прирістом аргументу і позначають х.

Отже, х = х₂- х₁.

При х = х₁ маємо у, = (х₁), а при х = х₂ маємо у₂ = (х₂). Різни­цю функції, яка викликана зміною аргументу, називають прирі­стом функції і позначають у.

Отже, у = у₂ – у₁= (х, + х) - (x₁).

Тепер можна перейти до поняття неперервності функції. Да­мо два означення неперервності функції в точці, які досить час­то використовуються.

Означення 1. Якщо нескінченно малому прирісту аргументу х в точці х = х₀ відповідає нескінченно малий приріст у функції, що визначена в точці х₀ та в її околі, то функцію у = (х) нази­вають неперервною при х = х₀ або в точці х₀.

Із цього означення випливає, що для дослідження неперервності функції в точці х = х₀ достатньо впевнитись, що при х 0 буде у 0.

Означення 2. Функцію у = (х) називають неперервною при х = х₀, якщо:

1) (х) існує при х = х₀ та в деякому околі точки х₀;

2) існує скінченна границя ;

3) незалежно від способу прямування х до х₀,

тобто

Останню умову можна записати так: .

Ця ознака нижче буде використана для класифікації точок розриву.

Означення 3. Якщо функція неперервна в кожній точці деяко­го інтервалу (а, b), то її називають неперервною в інтервалу (а, b). Якщо функція визначена при х = а i то кажуть, що (х) неперервна в точці а справа.

Якщо (а) визначена при x = b i то кажуть, що (х) в точці х = b неперервна зліва.

Якщо (х) неперервна в кожній точці інтервалу (а, b) та непе­рервна на кінцях інтервалу, відповідно зліва та справа, то функ­цію (х) називають неперервною на відрізку [а,b].

 

Класифікація розривів функції

Якщо при деякому х = x₁ будь-яка із умов неперервності означення 2 не виконується, то кажуть, що функція в цій точці має розрив, а точку x₁ називають точкою розриву функції (дивись Мал. 1.).

Поняття неперервності та розриву функції можна наочно по­казати на графіку функції.

Мал. 1.

В околі точки х₀ графік має вигляд неперервної лі­нії. При будь-якому пряму­ванні х х₀ (х) (х₀). В точках х, та х, інша ситу­ація. При наближенні х до х₁ зліва (х) а, а при х х, справа (х) b, тоб­то залежить від способу прямування х до х₁. В точці х₂ умова непе­рервності функції також не виконується тому, що , тобто не існує скінченної границі.

Графік функції, що зображений на Малюнку 1 має розриви в точках х₁ та х₂

Розриви функції бувають ліквідовні та неліквідовні:

1) якщо функція (х) не визначена в точці х, або визначена, але мають місце співвідношення

то розрив в точці х₁ називають ліквідовним. В цьому випадку функцію можна визначити або змінити її значення в точці х, так, щоб виконувались рівності

2) неліквідовні розриви поділяються на розриви першого та другого роду.

а) якщо однобічні границі функції існують та скінченні, але не рівні між собою, то х₁ називають точкою розриву першого роду, а різницю називають стрибком функції;

b) якщо хоч би одна з однобічних границь не існує або дорівнює , то розрив в цій точці називають розривом другого роду.

На Малюнку 1 функція має розрив першого роду в точці х₁, її стрибок дорівнює b - а, а в точці х₂ функція має розрив дру­гого роди.

 

Властивості неперервних функцій та дії з ними

Приведемо без доведень властивості неперервних функцій.

Теорема 1. (Вейєрштрасса) Якщо функція у = (х) неперервна на відрізку [a, b], то вона обмежена на цьому відрізку, тобто існують такі числа M та m, що

для усіх х [а, b].

Теорема 2. Усі основні елементарні функції неперервні в кож­ній точці своєї області існування.

Теорема 3. Алгебраїчна сума, добуток (скінченної кількості до­данків та множників) та частка функцій, неперервних при x = х₀ (в останньому випадку дільник в цій точці не повинен до­рівнювати нулю) є також неперервна функція при х = х₀.

Теорема 4. Неперервна функція від неперервної функції є та­кож неперервна функція.

Теорема 5. Будь-яка елементарна функція неперервна в кож­ній точці своєї області існування.

 

Задачі, що приводять до поняття похідної. Означення похідної. Її геометричний та механічний зміст. Дотична до кривої.

Вступні відомості

Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно, а закон руху її задається деякою функцією

(6.1)

1. Поставимо задачу: знайти швидкість точки в момент часу .

Нехай в деякий момент часу точка займала положенням (рис.6.1).Через проміжок часу точка займе положення і пройде шлях .

Відношення

(6.2)

називається середньою швидкістю руху точки.

Означення. Швидкістю точки в момент часу називається границя середньої швидкості на проміжку часу , коли прямує до нуля:

(6.3)

Зазначимо, що формула дає змогу знайти швидкість у момент часу тільки тоді, коли існує границя цього відношення.

Рис.6.1

2. Задача про дотичну до кривої. З поняттям дотичної до кривої в даній точці ми зустрічалися при вивченні кола за шкільною програмою, за якою давалося означення дотичної до кола як прямої лінії, що має з колом одну спільну точку. Проте це означення є окремим випадком. Його не можна поширити, наприклад, на незамкнуті криві. Тому треба дати загальне означення дотичної, яке б підходило як до замкнутих, так і до незамкнутих кривих.

Нехай маємо деяку довільну криву (рис.6.2, 6.3). Візьмемо на цій кривій точки та і через них проведемо пряму , яку називатимемо січною. Якщо точка переміщатиметься вздовж кривої, то січна повертатиметься навколо . Нехай , рухаючись вздовж кривої, наближається до точки , тоді довжина хорди прямує до нуля. Якщо при цьому й значення кута прямує до нуля, то пряма називається граничним положенням січної .

Рис.6.2 Рис.6.3

Означення. Дотичною до кривої в точці називається граничне положення січної , якщо точка прямує вздовж кривої до злиття з точкою .

Рис.6.4

 

Означення похідної

Нехай функція визначена на деякому проміжку (а; b). Візьмемо значення і надамо аргументу приросту . Тоді функція набуде приросту . Розглянемо відношення приросту функції до приросту аргументу і перейдемо до границі при :

. (4.1)

Якщо границя (4.1) існує і скінченна, вона називається похідною функції за змінною х і позначається

.

Означення. Похідною функції за аргументом х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням цієї функції.

Користуючись означенням похідної, знайти похідні функцій.

Приклад. Функція у = х ². Знайти похідну в точках х = 3 і х = – 4.

l Надамо аргументу х приросту , тоді функція набуде приросту

Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу , відшукаємо границю . Таким чином, .

Похідна в точці х = 3 , а похідна при х = – 4 буде .

Приклад. , де .

l Надавши аргументу приросту , дістанемо приріст функ­ції . Тепер знайдемо границю відношення при :

, тобто

Приклад. .

l Користуючись відомою з тригонометрії формулою

,

знайдемо приріст функції у точці і обчислимо границю:

,

;

.

Аналогічно можна дістати: .

Приклад. .

l Для цієї функції маємо

,

тобто .

Геометричний зміст похідної

Означення. Дотичною до кривої L у точці М називається граничне положення МN січної ММ ₁ при прямуванні точки М ₁ по кривій L до точки М (рис. 4.1).

Нехай крива, задана рівнянням , має дотичну в точці М (х, у). Позначимо (рис. 4.2) кутовий коефіцієнт дотичної МN: . Надамо в точці х приросту , тоді ордината у набуде приросту .

З випливає, що . Коли , то і січна прямує до положення дотичної МN.

Таким чином, .

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Оскільки , то тобто похідна чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х. У цьому полягає геометричний зміст похідної.

Механічний зміст похідної

Припустимо, що точка М рухається прямолінійно нерівномірно по деякій прямій лінії, яку візьмемо за вісь Ох (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Рух точки відбувається за законом х = f (t), де х — шлях; t — час. Знайдемо швидкість точки М у да-
ний момент часу t (миттєва швидкість).

Нехай точка М у момент t перебувала на відстані х від початкової точки М ₀, а в момент часу точка опинилася на відстані від початкової точки й зайняла положення М ₁. Отже, час t набув приросту , а шлях х — приросту . Середня швидкість руху точки М за час описується формулою .

Якщо точка М рухається рівномірно, то V _cр є величина стала, і її беруть за швидкість точки. Для нерівномірного руху точки очевидно, що для достатньо близьких значень до нуля середня швидкість точки М буде близька до її швидкості у момент часу t. Тому за точне значення швидкості точки М у момент часу t беруть величину

,

яка є швидкістю зміни функції х = f (t) у точці. У цьому полягає механічний зміст похідної.