Похідні від основних елементарних функцій

За аналогією з попередніми прикладами можна дістати похідні від основних елементарних функцій:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. .

Продиференціювати подані далі функції.

Приклад. .

l Дана функція є алгебраїчною сумою функцій, тому використовуємо теорему 2:

.

У здобутому виразі перший доданок алгебраїчної суми є добуток сталої величини на степеневу функцію Þ — застосуємо до нього теорему 4 і формулу (2) таблиці похідних; другий — ірраціональна функція з показником — застосуємо формулу (2) таблиці похідних; третій — логарифмічна функція з основою е Þ — використаємо формулу (5):

.

Приклад. .

l Задана функція складна: зовнішня — показникова функція з основою 6, внутрішня для неї — обернена тригонометрична. Обернена тригонометрична, у свою чергу, є складною, для якої внутрішня функція — алгебраїчна сума . Для суми аргументом (скінченним) є х.

Таким чином, задана функція є суперпозицією трьох функцій.

При диференціюванні послідовно застосовуємо два рази теорему 6:

У цьому виразі знизу біля кожної квадратної дужки вказано аргумент, за яким слід диференціювати функцію, взяту в дужки.

Тепер послідовно скористаємося формулами (4), (11), (2) таблиці похідних та теоремами 1, 2. Дістанемо:

.

Взагалі використані правила та формули не фіксують, а записують кінцевий результат їх застосування.

Приклад. .

l Задана функція є степенево-показниковим виразом виду

, де . (4.5)

Прологарифмуємо функцію (4.5) за основою е:

. (4.6)

Оскільки і — складні функції, після диференціювання обох частин рівності (4.6) дістанемо:

.

Звідси .

Таким чином, дістали формулу для знаходження похідної від степенево-показникової функції виду (4.5).

. (4.7)

У даному випадку формула (4.7) виглядає як

.

 

Монотонність функції. Екстремум функції

Функція називається зростаючою на інтервалі , якщо для будь-яких і , що належать до цього інтервалу, і таких, що < , справджується нерівність < .

 

Функція називається спадною на інтервалі , якщо для будь-яких і , що належать до цього інтервалу, і таких, що < , справджується нерівність > .

 

Як зростаючі, так і спадні функції називаються монотонними, а інтервали, в яких функція зростає або спадає – інтервалами монотонності.

Зростання і спадання функції характеризується знаком її похідної: якщо у деякому інтервалі > , то функція зростає в цьому інтервалі; якщо ж < , то функція спадає в цьому інтервалі.

 

Інтервали монотонності можуть відділятися один від одного або точками, де похідна дорівнює нулю, або точками, де похідна не існує. Ці точки називаються критичними точками.

 

Отже, щоб знайти інтервали монотонності функції , треба:

1) знайти область визначення функції;

2) знайти похідну даної функції;

3) знайти критичні точки з рівняння та за умови, що не існує;

4) розділити критичними точками область визначення на інтервали і у кожному з них визначити знак похідної.

На інтервалах, де похідна додатна, функція зростає, а де від^’ємна – спадає.

Зразки розв’язування задач

Знайти інтервали монотонності функції.

1. .

1) Область визначення .

2) .

3) Критичні точки:

або , звідки .

Похідна існує на всій області визначення.

4) Знаки похідної:

Функція зростає на інтервалах і . Функція спадає на інтервалі .

 

2. .

1) Область визначення .

2) .

3) Критичні точки: або . Оскільки , рівняння не має коренів, тобто похідна не обертається в нуль. існує на всій області визначення. Отже, критичних точок немає.

4) приймає тільки додатні значення, функція зростає на інтервалі .

 

Означення диференціала функції однієї змінної.

Правила знаходження диференціалу.

 

Нехай функція y = f (x) має в даній точці похідну

(1)

Тоді

(2)

де а 0, якщо х 0.

Помноживши обидві частини (2) на Ах, дістанемо:

(3)

Перший з доданків лінійний відносно х і при х 0 та f'(x₀) 0 є нескінченно малою одного порядку з х, тому що:

Другий доданок - нескінченно мала вищого порядку, ніж х, тому що:

Цей доданок не є лінійним відносно х, тобто містить х в степені, вищому від одиниці.

Тоді доданок f'(x)· x називається головною частиною суми двох нескінченно малих. У даному випадку це головна частина приросту функції у і називається диференціалом функції.

Диференціал функції визначається добутком похідної на приріст незалежної змінної і позначається dy або df(x).

Отже, маємо

dy = f'(x) · x (4)

Диференціалом dy називають також диференціал першого порядку. З виразу (4) бачимо що диференціал функції є функція двох незалежних змінних х і х. Якщо y = х, то у' = х' =1, тому dy = dx· x. Тобто диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приросту незалежної змінної.

На цій підставі для будь-якої диференційованої функції y = f (x) можемо формулу (4) записати так:

dy = f' (x) dx (5)

Останній вираз називатимемо канонічним виразом диференціала функції y = f (x). З (5) діленням на dх (dх 0), безпосередньо знаходимо:

(6)

Виходить, що похідну можна розглядати як відношення двох диференціалів. Тепер у позначенні похідної можемо надавати dy і dx самостійного значення:

Вираз (3) можемо записати ще так:

(7)

Звідки

де Якщо х 0, то й отже, і 0.

Зауважимо, що коли в точці х₀ похідна то перший доданок f формулі (3) дорівнює нулю і вже не є головною частиною приросту y. Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (5).

Геометричний зміст диференціалу зрозумілий з рисунка.

Рис. 1

 

Маємо PN = y, QN = MN tg = хf'(x) = f´(x) dx = dy.

Отже, маємо функції f (x) при заданих значеннях x₀ і х дорівнюють приросту ординати дотичної до кривої y = f (x) в точці х₀. Приріст функції у при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометричне означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ. Зрозуміло, що така заміна доцільна для достатньо малих значень x.

Формули диференціювання.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Правила диференціювання:

I.

II.

III.

IV.

Ці правила легко одержати із відповідних правил для похідних. Доведемо, наприклад, два останніх: