Диференціювання та інтегрування степеневих рядів.

1. Степеневі ряди можна почленно додавати і віднімати, причому, якщо ряд має радіус збіжності а ряд має радіус збіжності , то ряд має радіус збіжності який не менший меншого з чисел і .

2. Степеневі ряди можна множити за правилом множення многочленів, причому радіус збіжності ряду, отриманий в результаті множення, знову не менший меншого з чисел і . Не доводячи, відмітимо, що ділення степеневих рядів можна виконувати так само, як і ділення многочленів, розміщених по зростаючих степенях .

Для степеневих рядів справедливі такі теореми (приводимо їх без доведення):

Теорема 1. Якщо степеневий ряд збігається на проміжку , то його сума є неперервною функцією від в середині цього проміжку.

Теорема 2. Збіжний степеневий ряд можна почленно диференціювати в середині проміжку збіжності довільну кількість разів. При цьому область збіжності ряду, отриманого з похідних членів даного ряду, є також проміжок .

Це означає, що існують похідні де

.

Теорема 3. Збіжний степеневий ряд можна почленно інтегрувати в будь-якому проміжку, що лежить в середині області збіжності даного ряду. При цьому область збіжності ряду, отриманого почленним інтегруванням, також співпадає з проміжком .

Нехай, наприклад, тоді

=

звідки можна знайти, що

.

Таким чином, степеневий ряд в своєму інтервалі збіжності по відношенню до операцій диференціювання та інтегрування веде себе так само, як многочлен із скінченною кількістю членів.

Розглянемо, наприклад, розклад в ряд логарифмічної функції. Добре відомий ряд, який представляє собою суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії , який збігається при до функції , тобто .

Якщо цю рівність почленно проінтегрувати при (це можна робити згідно теореми 3), то отримаємо:

З іншого боку отже,

. (5.7)

Аналогічно можна представити дріб у вигляді

де

Звідси

.

Але і, отже,

. (5.8)

Причому, оскільки у прогресії ми покладали , то і ряди для функцій , отримані почленним інтегруванням, збігаються при .

У випадку для функції маємо, як це було показано раніше, умовно збіжний ряд

.

Представляючи функцію у вигляді ряду, ми можемо обчислити логарифми чисел від 0 до 2. Наприклад,

.

Однак, слід відмітити, що ряд для збігається повільно і практично незручний для обчислення логарифмів.

Віднявши від (5.7) розклад (5.8) і враховуючи рівність

знаходимо

(5.9)

За допомогою розкладу (5.9) вже можуть бути підраховані з будь-яким ступенем точності натуральні логарифми будь-яких додатніх чисел. Для цього досить дане число представити у вигляді дробу , звідки .

Оскільки знайдене значення задовільняє нерівності ,то ряд (5.9) збігається, яке б не було число . Наприклад, покладаючи , знаходимо розклад в ряд

Нехай

Розглянемо розклад

. (5.10)

Щоб отримати цей розклад, досить в геометричній прогресії покласти Почленно інтегруючи ряд (5.10), отримаємо

.

З іншої сторони . Порівнюючи два значення інтеграла, отримуємо при шуканий розклад

 

 

Ряди Тейлора і Маклорена.

Якщо функція є сумою степеневого ряду

(66)

то такий ряд називають рядом Тейлора, а вираз (66) називають розвиненням функції у степеневий ряд. Якщо у виразі (66) , то такий ряд має вигляд

(67)

і називається рядом Маклорена для функції .

Розлянемо приклади розвинення у степеневі ряди деяких елементарних функцій.

Розвинути у степеневий ряд функцію . Знайдемо похідні даної

функції:

При одержимо

.

Одержані значення підставимо у ряд Маклорена (67). Одержимо розвинення функції у степеневий ряд

. (68)

Аналогічно можна знайти розвинення інших функцій у степеневі ряди. Так

,

,

. (69)

Ряд (69) називають біноміальним рядом. Цей ряд збігається при .

Степеневі ряди мають широке застосування в точних та наближених обчисленнях функцій, інтегралів, наближеному розв’язуванні диференціальних рівнянь та інших випадках.

 

Приклад. Розкласти в степеневий ряд функцію і знайти його радіус збіжності.

Розв’язання. Позначимо і для функції в силу формули (68) запишемо ряд

. (70)

При підстановці замість його значення () ряд (70) матиме вигляд

.

За формулою (65) знайдемо радіус збіжності одержаного ряду. Враховуючи, що коефіцієнти , тоді

,

.

Ряд збіжний на всій числовій осі .

 

Приклад. Розкладаючи підінтегральну функцію в ряд обчислити з точністю до визначений інтеграл

.

Розв’язання. Підінтегральну функцію розвинемо у біноміальний ряд, використовуючи формулу (69), яку перепишемо у вигляді

.

Позначимо , і одержимо таке розвинення для функції:

 

Підставимо розвинення функції під знак інтеграла і після інтегрування обчислимо його наближено, взявши стільки членів, щоб решта ряду була меншою від . Щоб не одержати похибки від округлення, будемо брати чотири знаки після коми.

Відповідь. .