Однорідні диференціальні рівняння

Однорідними рівняннями першого порядку називають рівняння виду

. (39)

Для того, щоб рівняння (39) звести до рівняння з відокремлюваними змінними, вводять заміну змінної . Тоді і рівняння (39) можна переписати через змінну . Одержуємо

Змінні відокремлюються і його вже можна розв’язати.

 

Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Розв’язання. Розв’яжемо це рівняння відносно похідної ; одержимо однорідне рівняння

.

Введемо заміну змінної . Одержимо

.

Або

якщо позначимо , то одержимо вираз, який можна інтегрувати. Маємо

Повернемося до старої змінної, тобто підставимо замість його значення . Одержуємо загальний розв’язок у вигляді

 

Диференціальні рівняння у повних диференціалах

Загальна теорія

Якщо ліва частина диференціального рівняння

є повним диференціалом деякої функції , тобто

,

і, таким чином, рівняння приймає вигляд то рівняння називається рівнянням в повних диференціалах. Звідси вираз

є загальним інтегралом диференціального рівняння.

Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних ди­ференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності

Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді

Звідси де - невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по і прирівняємо

Звідси

.

Остаточно, загальний інтеграл має вигляд

Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал

,

то можна визначити, взявши криволінійний інтеграл по довільному контуру, що з’єднує фіксовану точку і точку із змінними координатами . Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла

В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші.

.

Множник, що Інтегрує

В деяких випадках рівняння

не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція така, що рівняння

вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та дос­татньою умовою цього є рівність

,

або

.

Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції . Задача ін­тегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію , наприклад де - відома функція. В цьому випадку одержуємо

Після підстановки в рівняння маємо

,

або

.

Розділимо змінні

Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:

.

Розглянемо частинні випадки.

1) Нехай . Тоді

І формула має вигляд

.

2) Нехай . Тоді

І формула має вигляд

3) Нехай . Тоді

І формула має вигляд

.

4) Нехай . Тоді

І формула має вигляд

.

 

 

Зниження порядку деяких диференціальних рівнянь другого порядку

Диференціальним рівнянням -го порядку називається рівняння вигляду . Розв’язком такого рівняння називається будь-яка диференційована n разів функція , яка перетворює дане рівняння на тотожність, тобто

.

Задача Коші для цього рівняння полягає у тому, щоб знайти розв’язок рівняння, який задовольняє умовам: при , де - числа, які називаються початковими умовами.

Функція називається загальним розв’язком даного диференціального рівняння -го порядку, якщо при відповідному виборі довільних сталих ця функція є розв’язком будь-якої задачі Коші, що поставлена для цього рівняння. Будь-який розв’язок, який отриманий із загального розв’язку при конкретних значеннях сталих , називається частинним розв’язком цього рівняння.

1) Рівняння вигляду .

Розв’язок цього рівняння отримується - кратним інтегруванням, тобто:

 

 

,

,

,

, де

.

2) Диференціальне рівняння , що явно не містить шукану функцію , за допомогою підстановки ; зводять до відповідного рівняння першого порядку . Розв’язок цього рівняння знаходять, виходячи з його типу, а потім, для отримання загального розв’язку початкового рівняння, .

3) Диференціальне рівняння вигляду , що явно не містить незалежну зміну , підстановкою зводять до диференціального рівняння першого порядку

Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Права частина рівняння не містить невідомої функції та її похідної , тому для отримання розв’язку тричі послідовно інтегруємо обидві його частини:

,

 

,

.

Отже, загальний розв’язок даного рівняння:

.

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок рівняння:

.

Розв’язання.

Дане рівняння того же типу, що і попереднє, тому його розв’язок знаходимо аналогічно, тобто:

.

За методом інтегрування частинами, маємо

,

,

,

= .

Тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд:

,

або .

 

Ряди.