Тема 7. Принцип можливих переміщень. Загальне рівняння динаміки.

Література [1] §112 – 116.

[2] Гл.6 §1-4.

На попередній лекції ми перейшли до вивчення основних принципів механіки, в яких міститься повна інформація про механічний рух і рівновагу механічної системи. Для розгляду наступного принципу необхідно розширити поняття в’язі, класифікувати в’язі, ввести додаткові поняття.

§ 7.1. Класифікація в’язей.

Як відомо із “Статики”, невільні тіла відрізняються від вільних тим, що положення їх в просторі обмежені. Виявляється, що поняття в’язі більш широке.

Означення: В’язь – це обмеження, накладені на координати, швидкості точок механічної системи, можуть залежати від часу.

Рівняння в’язі

В’язей може бути декілька, тоді індекс “ j ” – вказує номер в’язі. Нехай j =1,2.. s; тоді s - кількість в’язей. Зауважимо, що для того, щоб рух системи, яка складається з “n” точок, був можливий, треба щоб s<3n.

На основі (7.1) можна провести класифікацію в’язей.

1). В’язь називається утримуючою або двосторонньою, якщо вона описується рівнянням

в противному разі – в’язь є не утримуючою, односторонньою. Покажемо це на прикладі. Механічна система складається з двох точок M₁ і M₂, з’єднаних абсолютно твердим стержнем довжиною l.

Рівняння цієї в’язі

Якщо замість стержня буде гнучка нерозтяжна нитка довжиною l, то координати точок M₁ і M₂ будуть задовольняти нерівність

Стержень – двостороння (утримуюча), нитка – одностороння (не утримуюча) в’язь.

2). В’язь називають стаціонарною, якщо залежність (7.1) не включає час t.

3). В’язь називають геометричною, якщо залежність (7.1) обмежує тільки координати точок і не включає швидкостей точок. В противному разі в’язь називають кінематичною.

4). Якщо в залежності (7.1) швидкості точок можна виключити шляхом інтегрування, то в’язь називають кінематично–зінтегрованою.

Кінематично-зінтегровані і геометричні в’язі утворюють клас голономних в’язей.

Поділ в’язей на голономні і не голономні був запропонований німецьким фізиком Г. Герцом в монографії “Принципи механіки”, де він задавався метою показати, що загальні теореми можна отримати з одного принципу.

Найчастіше в інженерній практиці зустрічаються геометричні стаціонарні в’язі.

Наприклад:

1. На “n” точок системи накладена в’язь – площина Oxy.

Які обмеження накладені на координати точок?

Зверніть увагу, що кількість рівнянь це і є кількість в’язей!

2. Нерухомий шарнір в точці О.

Які обмеження накладені на координати точки О?

3. При русі точки її координати задовольняють умову

- двостороння стаціонарна кінематична в’язь.

Проінтегрувавши, отримаємо

тобто в’язь – кінематично-зінтегрована.

4. На точку М (поршень) – накладена в’язь (напрямляючи) вздовж горизонталі.

Як записати рівняння в’язі?

Самостійно.

§ 7.2. Можливі переміщення.

Нехай ми маємо точку, на яку накладена в’язь – поверхня.

Точка під дією деякої сили рухається за законом . Нескінченно мале переміщення за час - - елементарне дійсне переміщення точки.

Уявимо собі, що ми зафіксували час (сфотографували точку в даному положенні). Задамося питанням: Які переміщення могла б здійснити точка М, залишаючись на поверхні? Таких переміщень багато. Позначимо їх - варіація вектора , - можливе переміщення.

Означення. Можливим переміщенням точки називають:

- уявне,

- нескінченно-мале переміщення,

- дозволяється накладеними на точку в’язями в даний момент часу.

Воно звичайно не залежить від сили , бо уявне. В випадку стаціонарних в’язей дійсне переміщення одне з можливих. належить до класу .

Можливі переміщення механічної системи – це сукупність можливих переміщень точок системи, , де n - кількість точок. Таких сукупностей може бути багато, серед них є залежні між собою переміщення. Щоб з’ясувати скільки незалежних можливих переміщень, введемо нове поняття.

§ 7.3. Число ступенів вільності.

Означення. Числом ступенів вільності механічної системи називають число незалежних її можливих переміщень.

В випадку голономних в’язей число ступенів вільності визначається кількістю незалежних координат, які однозначно визначають положення точок системи у просторі.

Розглянемо систему, що складається з “n” точок; якщо система вільна - скільки координат визначають її положення в просторі? (відповідь – 3n). Незалежних можливих переміщень також 3n.

Якщо на точки системи накладено “s” голономних в’язей, тобто маємо “s” залежностей між координатами.

Існує зв’язок між можливими переміщеннями

Скільки залишилось незалежних можливих переміщень, чи незалежних координат?

(відповідь: (3n-s)) – позначимо літерою “р”.

(7.3) – формула для визначення числа ступенів вільності системи, яка складається з “n” точок, на які накладено “s” голономних в’язей. Якщо маємо систему, яка знаходиться (рухається) в одній площині (не в просторі) формула (7.3) має вигляд:

Приклад:

Кривошипно-шатунний механізм складається з трьох ланок: 1, 2, 3; скільки накладено в’язей? В точці О - дві, в точці В – одна, між точками О і А та А і В – одна, за формулою (7.4) маємо .

т.Р – миттєвий центр швидкостей ланки АВ. Між можливими переміщеннями існують залежності:

§ 7.4. Можлива робота. Ідеальні в ’ язі.

Означення. Можлива робота сили – робота сили на можливому переміщенні точки, в якій сила прикладена. Вона дорівнює скалярному добуткові модуля сили на можливе переміщення точки прикладання сили .

Або, аналогічно елементарній роботі (дивись формули (5.2, 5.3):

Можлива робота моменту пари сил дорівнює (аналогічно 5.5)

Вивчаючи теорему про зміну кінетичної енергії (тема 5), ми користувались поняттям “Ідеальні в’язі”. Там означення ідеальної в’язі було нестроге з математичної точки зору. Тепер є можливість це поправити. Французький математик Ж. Л. Лагранж ввів поняття ідеальної в’язі.

Означення. В’язі називаються ідеальними, якщо сума можливих робіт їх реакцій на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулеві, тобто

n - кількість реакцій в’язей,

- можливе переміщення точки прикладання сили реакції в’язі .

До ідеальних відносять: всі геометричні в’язі без тертя, невагомий стержень, нерозтяжна нитка, нерухомий шарнір, а також в’язь, що забезпечує кочення без ковзання по шорсткій поверхні (§ 5.4.2).

§ 7.5. Принцип можливих переміщень.

Сучасне формулювання принципу можливих переміщень було дане Лагранжем в 1788 році в результаті узагальнення теорії найпростіших механізмів (важеля, похилої площини, блоків і т.п.). Тому його називають принципом Лагранжа. Цей вчений, написав книгу “Аналітична механіка”, в якій немає ні одного рисунка. Він писав: “Всі, хто любить математику з задоволенням дізнаються, що механіка – галузь математики”.

Принцип Лагранжа: Для рівноваги механічної системи з геометричними двосторонніми, ідеальними, стаціонарними в’язями необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума можливих робіт всіх активних сил, що діють на систему, на будь-якому з її можливих переміщень дорівнювала нулеві, тобто

Необхідність. Нехай механічна система, що складається з “n” матеріальних точок, знаходиться в рівновазі і на неї накладені геометричні, утримуючі, ідеальні, стаціонарні в’язі. Позначимо:

- рівнодійна активних сил, що діють на „к”-ту точку,

- рівнодійна реакцій в’язей, що діють на „к”-ту точку.

Оскільки система знаходиться в рівновазі, то кожна її точка також у рівновазі, а значить

Надамо системі одне з можливих переміщень і позначимо переміщення “к”-ої точки - . Помножимо скалярна на кожну рівність (*).

Додамо “n” рядків (**)

Враховуючи, що в’язі ідеальні, тобто має місце (7.9), в рівнянні (***) залишиться тільки перша сума

що і треба було довести.

Достатність (самостійно довести).

Увага! Рівнянь робіт (7.10) можна скласти стільки, скільки незалежних можливих переміщень, тобто скільки ступенів вільності має механічна система.

До речі, згадайте з курсу „Фізика” золоте правило механіки. Не впізнаєте його в (7.10’)?

§ 7.6. Застосування принципу можливих переміщень.

§ 7.6.1 Для визначення однієї з активних сил, що діють на систему з одним ступенем вільності.

Пропонується послідовність дій, проілюстрована для конкретної задачі.

Задача. Визначити, який момент треба прикласти до кривошипа 1 в кривошипно-шатунному механізмі щоб зрівноважити силу , прикладену до поршня 3. (Рис. 7.1) при заданому кутові . Механізм розташований в горизонтальній площині, в’язі ідеальні. ОА та АВ – відомі.

1) Вибираємо об’єкт вивчення.	1) Об’єкт вивчення – механічна система, що складається з тіл: 1, 2, 3.
2) З'ясовуємо вид в'язей та число ступенів вільності. Щоб з'ясувати число ступенів вільності для плоских механізмів: - зупиняємо одну ланку; - з'ясовуємо, чи всі ланки "зупинились"? - якщо всі – один ступінь вільності.	2) В'язі – геометричні, стаціонарні, ідеальні. Система має одну ступінь вільності. (Якщо "зупинити" кривошип 1, всі точки механізму зупиняться).
3) Показуємо на рисунку активні сили, які діють на систему.	3) Активні сили: пара сил з моментом М та сила (сили ваги ланок перпендикулярні до площини рисунка).
4) Надаємо системі можливе переміщення і складаємо рівняння (7.10).	4) Надаємо кривошипові 1 можливе переміщення проти ходу годинникової стрілки. Рівняння (7.10) має вигляд , або .
5) Для системи з одним ступенем вільності отримуємо залежності між можливими переміщеннями. До речі, ці залежності такі самі, як і для можливих швидкостей. Тому рівняння робіт (7.10') можна замінити рівнянням потужностей де - можлива швидкість точки прикладання сили .	5) Залежність між можливими переміщеннями отримали раніше (див. рис.7.1) При заданих геометричних параметрах ОА, ,АВ відношення переміщень легко отримати розглядаючи трикутники АВР, ОВР, та АОВ. Така ж сама залежність між швидкостями
6) Підставляємо залежності між можливими переміщеннями (або швидкостями) в рівняння (7.10') або (7.11) і враховуючи, що задане можливе переміщення довільне, отримуємо шукану силу, чи момент.	6) , , тому отримали шуканий момент М.

§ 7.6.2. Для визначення реакцій в’язі складеної конструкції.

Згадаємо, як ми в «Статиці» визначали реакції в'язей конструкції, що складалась з великого числа зв'язаних між собою тіл.

Наприклад. Складена балка з трьох частин.

Скільки рівнянь рівноваги треба скласти для визначення реакцій в'язей в точках А, В, Е та тиск в шарнірах С і D? (Відповідь) – дев'ять. З допомогою принципу можливих переміщень можна визначити одну із реакцій, або її складову вибірково! Тобто визначити, ту реакцію, яка нас «турбує» (потрібна), а не всі.

Як це робиться?

Відкидають ту в'язь, реакцію якої треба визначити. Дію в'язі замінюють її реакцією, яку переводять в клас активних (заданих) сил. При цьому конструкція (яка не мала ступенів вільності – вона нерухома), отримує одну ступінь вільності.

Далі діють так само, як і в § 7.6.1. Тобто

- надають системі можливе переміщення;

- складають рівняння робіт (7.10) (або потужностей (7.11));

- встановлюють зв’язок між можливими переміщеннями (чи швидкостями);

- підставляють знайдені залежності між можливими переміщеннями (чи швидкостями) в рівняння п.м.п. і отримують шукану реакцію.

§ 7.7. Загальне рівняння динаміки, або принцип Д’Аламбера – Лагранжа.

Розглядаємо рух механічної системи, на яку накладені голономні, утримуючі ідеальні в’язі. На кожну точку діють сили: , . Згідно з принципом Д’Аламбера умовно прикладемо до кожної точки силу інерції і отримаємо

Надамо системі деяке можливе переміщення; кожна точка отримає своє переміщення (к=1,2..n). Скалярна помножимо рівність (а) на і підсумовуючи по всіх точках системи, маємо

За визначенням ідеальних в’язей середній доданок дорівнює нулеві (формула (7.9)). Маємо принцип Д’Аламбера – Лагранжа

Принцип Д’Аламбера – Лагранжа. В довільний момент руху механічної системи з ідеальними в’язями сума можливих робіт активних сил та сил інерції точок системи на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнює нулеві.

Рівняння (7.12) ще називають загальним рівнянням динаміки і складають їх стільки, скільки ступенів вільності. Для системи з голономними, двосторонніми, ідеальними в’язями з рівнянням (7.12) можна отримати загальні теореми динаміки, динамічні рівняння руху, тобто побувати теоретичний курс розділу “Динаміка”.

Рекомендації до практичних занять на тему:

„Застосування загального рівняння динаміки для складання динамічного рівняння руху практичної моделі механічної системи”.

Динамічне рівняння руху М.С.

Складаємо загальне рівняння динаміки

Встановлюємо зв’язок між можливими переміщеннями

Задаємо можливі переміщення

Головний вектор, головний момент сил інерції.

Показуємо сили активні

Скільки ступенів вільності?

Об’єкт вивчення – М.С.

Які в’язі?

Вид руху тіл?

Покажемо послідовність дій з допомогою схеми.

Якщо серед в’язей є неідеальні в’язі, то їх реакції “переводять” в клас активних сил.

Питання для самоконтролю.

1. Що називається в’яззю?
2. Яке загальне рівняння в’язі?
3. Яка в’язь називається утримуючою?
4. Яка в’язь називається стаціонарною?
5. Які в’язі називаються голономними?
6. Що називають можливим переміщенням механічної системи?
7. Чи залежать можливі переміщення від діючих на систему сил?
8. Яка відмінність між можливим і дійсним переміщенням системи?
9. В якому випадку дійсне переміщення системи співпадає з одним з її можливих переміщень?
10. Що називається числом ступенів вільності системи?
11. Чому дорівнює число ступенів вільності системи, на яку накладені тільки голономні в’язі?
12. Які в’язі називаються ідеальними?
13. Поясніть, чому ідеально гладка поверхня є ідеальною в’яззю?
14. Чи може бути ідеальною в’язь з тертям?
15. Як формулюється принцип можливих переміщень?
16. Чи можна застосовувати принцип можливих переміщень для дослідження рівноваги механічних систем з неідеальними в’язями?

17. Як формулюється принцип Д’Аламбера – Лагранжа?