Узагальнені координати – незалежні і однозначно визначають положення системи у просторі.

За аналогією до звичайних понять швидкості і прискорення маємо:

- узагальнена швидкість,

- узагальнене прискорення.

Одиниці їх вимірювання узгоджені з одиницями вимірювання узагальнених координат.

Оскільки наша мета отримати принципи механіки в узагальнених координатах, ми будемо говорити про можливу роботу, можливі переміщення. Можливі переміщення раніше , ; тепер . Через те, що радіус-вектор “к”-ої точки є функція узагальнених координат для стаціонарних в’язей , то варіація дорівнює

- зв’язок між можливими переміщеннями і .

§ 8.2. Узагальнені сили.

Розглянемо механічну систему, що складається з “n” матеріальних точок і має “р” ступенів вільності. Нехай - рівнодійна сил, що діють на “к”-ту точку. Надамо системі деяке можливе переміщення і визначимо можливу роботу всіх діючих на систему сил на цьому переміщенні

Враховуючи залежність (8.1), маємо

Змінимо порядок підсумовування

Якщо порівняти (б) з (а), то бачимо, що обидві вони визначають роботу діючих на систему сил і можна зробити висновок, що вирази, які знаходяться в дужках рівність (б) відіграють роль сил, бо - можливе переміщення. Узагальнену силу позначають Q_i і вона дорівнює

Маємо можливу роботу в узагальнених силах

Висновки:

1. Узагальнена сила є скалярною величиною.

2. Кожній узагальненій координаті відповідає своя узагальнена сила, тобто скільки узагальнених сил? (Відповідь. Стільки, скільки узагальнених координат, а значить скільки ступенів вільності має об’єкт вивчення).

№ п/п	q	[q]	Q	[Q]
1.	Відстань,	м	Сила,	Н
2.	Кут,	рад	Момент,	Нм
3.	Площа,	М^2	Інтенсивність,	Н/м

3. Одиниці виміру узагальнених сил диктуються одиницями виміру узагальнених координат.

Для визначення узагальненої сили на практиці формула (8.2) звичайно не підійде.

§ 8.2.1. Практичний спосіб обчислення - “j”-ої узагальненої сили.

1). Задаємо можливі переміщення таким чином . Тобто фіксуємо всі координати крім “j”-ої. (Нагадаю, що всі - незалежні, тому можна задавати довільно).

2). Визначаємо суму можливих робіт активних сил на заданому переміщенні.

3). Тоді формула (8.3) має один доданок, тобто , і загальна сила дорівнює

зауважимо, що (додатна!))

Розглянемо приклад. На еліптичний маятник діють: сила , , - сили ваги тіл А і В, АВ=l. Узагальнені координати q₁=x, q₂=φ.

Визначити: - узагальнену активну силу, що відповідає координаті х;

- узагальнену активну силу, що відповідає координаті j.

Покажемо активні сили , , .

1). -?

Фіксуємо координату j=const. Задаємо . Сума можливих робіт активних сил на цьому переміщенні дорівнює , тому

2). -? Фіксуємо координату х=const, задаємо .

тому

§ 8.2.2. Обчислення узагальненої потенціальної сили.

В потенціальному стаціонарному силовому полі проекції потенціальної сили виражаються через потенціальну енергію таким чином:

Але потенціальна енергія в стаціонарному полі – функція положення, тому . Застосуємо формулу (8.2), згадавши, чому дорівнює скалярний добуток двох векторів через координати цих векторів

Для потенціальних сил з врахуванням (*), маємо

тобто:

Узагальнена потенціальна сила дорівнює взятій з протилежним знаком частинній похідній від потенціальної енергії по відповідній узагальненій координаті.

Отримаємо принцип можливих переміщень та принцип Д’Аламбера–Лагранжа в узагальнених координатах, узагальнених силах.

§ 8.3. П ринцип можливих переміщень в узагальнених координатах.

Згадаємо цей принцип. Розглядається механічна система, що знаходиться в рівновазі. На систему накладені голономні утримуючі ідеальні в’язі. Тоді сума можливих робіт активних сил дорівнює нулеві на будь-якому можливому переміщенні системи. І навпаки, якщо то механічна система при таких в’язях знаходиться в рівновазі. Враховуючи (8.3) перепишемо принцип

Бачимо, що доданків в цій сумі менше, бо p<3n (р=3n-s). Але справа не тільки в кількості доданків. Справа в тому, що всі можливі переміщення - незалежні! Коли це можливо, щоб , якщо - довільні співмножники? Відповідь: якщо всі перші співмножники дорівнюють нулеві.

Рівняння рівноваги в узагальнених силах: