Тема 5. Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи.

Література [1] §58 – 71.

[2] Гл.4 §5.

Пропонується Вам такий приклад механічної системи: маємо дві точки, які рухаються назустріч одна одній з однаковою швидкістю.

Якщо маси точок однакові то:

- кількість руху цієї системи ,

- момент кількості руху відносно довільної точки О також дорівнює нулеві, бо .

То введених динамічних мір руху не достатньо. Треба ще одну. Давайте спробуємо підрахувати . Що це за міра? (Кінетична енергія.)

Кінетична енергіяє завжди додатною і не залежить від напрямку руху точки.

Саме тому, що кількість руху є векторна величина, а кінетична енергія - скалярна, між вченими багато років продовжувалась полеміка. Кількість руху запропонована Декартом в 1644 р., а “жива сила” в 1686 р. Лейбніцем. Чітке тлумачення про міри механічного руху було дано Ф. Енгельсом в кінці XIX ст. в його праці “Діалектика природи”.

Механічний рух має дві міри: якщо механічний рух перетворюється в механічний, то міра – кількість руху; якщо механічний рух переходить в інші види рухів, наприклад тепловий, то його мірою є кінетична енергія.

Отже, є дві різні міри механічного руху: і , а це означає, що повинні існувати дві різні міри дії сили: імпульс сили (§3.2) і робота сили.

§ 5.1. Робота і потужність сили та пари сил.

Означення: Робота сили – це фізична величина, яка характеризує дію сили на матеріальний об’єкт на деякому переміщенні.

Елементарна робота сили – робота сили на елементарному переміщенні.

Нехай рух точки М, до якої прикладена сила , визначається векторним способом

Означення. Елементарна робота сили дорівнює скалярному добутку вектора сили на елементарне переміщення точки, до якої прикладена сила.

Або, інакше

де - проекція сили на дотичну до траєкторії в точці М, , коли .

Якщо рух точки М задано координатним способом, тоді скалярний добуток виразимо через координати співмножників

Зауважимо на те, що елементарну роботу позначаємо , а не , оскільки взагалі вона не є повним диференціалом.

З поняттям роботи пов’язане поняття потужності.

або

Означення Потужність – це величина, яка визначає роботу сили за одиницю часу, тобто

Елементарна робота пари сил. Нехай до тіла прикладена пара сил з моментом М, пара обертає тіло навколо осі Oz. – елементарний кут повороту тіла. Тоді сума елементарних робіт сил дорівнює , бо дорівнює моментові пари М.

Елементарна робота пари сил дорівнює добуткові момента пари сил на елементарний кут .

Так само елементарна робота сили, прикладеної до тіла, яке має вісь обертання, дорівнює добуткові моменту сили відносно осі обертання на елементарний кут повороту тіла.

Потужність момента пари сил, чи момента сили, прикладеної до тіла, що обертається навколо осі, дорівнює

Знак елементарної роботи і потужності сили диктується формулами (5.2) та (5.4) в залежності від кута між векторами сили і швидкості.

Знак елементарної роботи і потужності момента пари сил залежить від того, чи співпадають напрямки момента і кутової швидкості: якщо співпадають знак “+”, якщо ні “-”.

§5.2. Приклади обчислення робіт.

Робота сили на скінченому переміщенні, наприклад від точки М₀ до точки М₁ (Рис.5.3) складається з суми елементарних робіт, яка є інтегральною сумою, тобто

де є одна з формул (5.1), (5.2), (5.3), (5.5). Робота сили в загальному випадку залежить від характеру руху точки, до якої вона прикладена.

Є такі сили, робота яких визначається, якщо відомі положення, початкове і кінцеве, точки прикладання сили і не залежать від траєкторії руху точки їх прикладання. Такі сили називаються потенціальними.

До таких належить: сила ваги (сила тяжіння),

сила пружності.

§5.2.1. Робота сили тяжіння (сили ваги).

Нехай точка М, вагою , перемістилась з положення М₀ (x₀, y₀, z₀) в положення М₁ (x₁, y₁, z₁). Визначимо роботу сили ваги на цьому переміщенні. Для цього скористаємось формулою (5.7), де елементарну роботу підставимо з (5.3).

Отримаємо:

де (Z₀ – Z₁) – різниця висот між початковим і кінцевим положенням. Позначимо її .

Остаточно

де знак “+” беремо, якщо Z₀ > Z₁, тобто при опусканні точки М, знак “-” при підйомі. Якщо Z₀ = Z₁, то робота дорівнює нулеві. Робота сили не залежить від траєкторії точки М.

§5.2.2. Робота сили пружності.

Розглянемо вантаж М, що лежить на горизонтальній площині і прикріплений пружиною.

l ₀ - довжина недеформованої пружини.

За законом Гука сила пружності , де с – коефіцієнт жорсткості, його розмірність , x – деформація пружини. Нехай під дією точка М перемістилась з положення М₀ в положення М₁; x₀, x₁ – початкова та кінцева деформація пружини. Тоді скористаємось формулою (5.7), та (5.3):

Цей самий результат можна отримати за допомогою графіка залежності F_x від х, бо робота сил пружності є площа трапеції, заштрихованої на Рис.5.7.

Якщо згадати з курсу „Опір матеріалів” діаграму розтягування стержня, де по осі Ох відкладаємо деформацію, а по осі Оу значення сили пружності, то робота - це буде площа криволінійної трапеції.

§5.2.3. Робота постійної сили.

Нехай до точки М, що рухається по прямій, прикладена сила під кутом до траєкторії.

Робота сили на переміщенні M₀M₁ згідно формул (5.2) та (5.7), дорівнює

В залежності від кута робота буде:

- додатньою, якщо 0< <90^о,

- від’ємною, якщо 90^о< <180^o,

- дорівнює нулеві, якщо =90^о.

§5.3. Кінетична енергія.

Кінетична енергія механічної системи, яка складається з “n” точок - це арифметична сума кінетичних енергій точок системи.

Знати швидкість кожної точки практично неможливо. Існує теорема, за якою визначається кінетична енергія системи при її складному русі.

§5.3.1. Теорема Кьоніга про кінетичну енергію.

Нехай механічна система здійснює складний рух:

- переносний рух разом з системою координат, що рухається поступально відносно нерухомої системи координат з швидкістю центру мас .

- відносний рух відносно Кьонігової системи координат (розглядали таку систему координат в попередній темі).

Осі O₁ x₁ y₁ z₁– нерухомі,

Осі C x y z – рухаються поступально з швидкістю .

Тоді абсолютна швидкість “к”-ої точки дорівнює

- відносна швидкість “к”-ої точки.

Згідно з (5.11),

Добуток , бо радіус-вектор центру мас відносно центру мас дорівнює нулеві.

Маємо

бо - кінетична енергія системи при її відносному русі.

Теорема Кьоніга.

Кінетична енергія системи при її складному русі, якщо відносний рух – відносно Кьонігової системи координат, дорівнює сумі кінетичних енергій центру мас, в якому зосереджена маса всієї системи, та кінетичної енергії системи при її відносному русі.

Перейдемо до визначення кінетичної енергії твердих тіл, з яких складаються практичні моделі механічних систем.

§5.3.2. Кінетична енергія твердих тіл.

а) Тіло здійснює поступальний рух. Тоді, як відомо, швидкості усіх точок, з яких складається тіло, в кожну мить однакові. Швидкість “к”-ої точки дорівнює швидкості тіла.

Маємо, кінетичну енергію тіла, як суму кінетичних енергій точок, з яких воно складається , –маса тіла.

б) Тіло обертається навколо нерухомої осі.

Кінетична енергія тіла – сума кінетичних енергій точок , але швидкість кожної точки дорівнює , тому ,

бо - осьовий момент інерції тіла.

в) Тіло здійснює плоско-паралельній рух.

Плоско-паралельний рух тіла, як відомо, є складний рух:

- переносний – поступальний разом з сисмтемою координат, яка рухається з швидкістю ;

- відносний – обертальний навколо осі, яка проходить через точку С.

Застосуємо теорему Кьоніга, враховуючи, що при відносному обертальному русі . Тоді

Кінетична енергія при плоско-паралельному русі – сума кінетичних енергій поступального руху разом з центром мас і обертального руху навколо рухомої осі, яка проходить через центр мас, перпендикулярно до основної площини.

Як відомо, при плоскому русі в кожну мить існує точка, швидкість якої дорівнює нулеві – миттєвий центр швидкостей (точка Р). Тому, замість формули (5.15), можна скористатись формулою (5.14)

Де - момент інерції відносно осі Pz; яка паралельна центральній осі Cz, тому , згідно теореми Гюйгенса – Штейнера.

§5.4. Теорема про зміну кінетичної енергії.

Вивчаємо рух теоретичної моделі механічної системи, що складається з “n” точок. Розглянемо рух матеріальної точки, яка належить до М.С.

або

На неї діють сили: - зовнішня сила, - активна сила

- внутрішня сила, - реакція в’язі.

Запишемо основний закон динаміки точки

Через те, що нас цікавить, як зміниться кінетична енергія, яка залежить від швидкості , то перепишемо (а) враховуючи, що , і домножимо ліву частину на , а праву на . Маємо

але: , - елементарна робота сили . Тоді

Це має місце для всіх точок системи к = 1,2..n. Якщо додамо всі “n” рядків, отримаємо

- кінетична енергія системи.

Маємо

Поділимо (5.18) на :

бо - потужність сили .

Теорема. Похідна по часу від кінетичної енергії механічної системи дорівнює сумі потужностей сил, що діють на систему (зовнішніх та внутрішніх; або активних та реакцій в’язей).

Згадаємо дві попередні теореми

Бачимо, що зміни кількості руху та кінетичного моменту залежать тільки від зовнішніх сил. А кінетична енергія? Дивись формулу (5.19).

Є такі випадки, коли робота (чи потужність) внутрішніх сил дорівнює нулеві. Розглянемо ці випадки.

§5.4.1. Теорема в випадку незмінюваної механічної системи.

Якщо відстань між точками механічної системи з часом не змінюється, то система називається незмінюваною (прикладом є тверде тіло).

Розглянемо суму елементарних робіт внутрішніх сил та на елементарних переміщеннях точок 1 та 2, до яких вони прикладені та . В загальному випадку , а сума елементарних робіт сил та дорівнює

Внутрішні сили, як відомо, рівні за модулем, та протилежні за напрямком, тобто . Тоді маємо згадавши, чому дорівнює скалярний добуток векторів

Як відомо з “Кінематики твердого тіла”, має місце теорема про проекції швидкостей двох точок тіла на пряму, що їх з’єднує, тобто

Те ж саме має місце і для інших точок системи.

Висновок. В випадку незмінюваної механічної системи сума робіт усіх внутрішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулеві. Тому в формулі (5.18) залишиться робота тільки зовнішніх сил, а в (5.19) потужність тільки зовнішніх сил.

§5.4.2. Теорема в випадку системи з ідеальними в’язями.

Розглянемо рух механічної системи, на яку накладені в ’ язі, що не змінюються з часом. Якщо сума елементарних робіт реакцій в’язей, які накладені на систему, дорівнює нулеві такі в ’ язі називають ідеальними. (Загальне, більш точніше, поняття ідеальних в’язей буде визначено пізніше).

Приклади ідеальних в’язей

1). Абсолютно гладенька поверхня.

Реакція перпендикулярна до поверхні, тому елементарна робота реакції дорівнює нулеві

2). Нерухомий шарнір без тертя.

Реакція прикладена в нерухомій точці, тому нема переміщення

3). Нерозтяжна нитка, нерозтяжний стержень.