Сили в розділі “Динаміка”. Приклади.

, в даній точці Землі.

, ω – частота струму.

, с – коефіцієнт жорсткості пружини.

- формула Стокса.

Основна задача розділу “Динаміка” – встановити зв’язок діючих сил з кінематичними характеристиками руху матеріальних об’єктів. Назвемо динамічними рівняннями руху – рівняння, які зв’язують між собою характеристики:

Інерційні (маса, моменти інерції),

2. геометричні, конструктивні (кількість тіл, кути, радіуси, в’язі...),

Кінематичні (час, швидкості, прискорення, положення),

Міри взаємодії (сили, моменти пар сил).

Тобто це будуть залежності такого вигляду

При всій різноманітності задач, які “Динаміка” розв’язує, можна виділити дві основні задачі. Перша задача: за даними інерційними, конструктивними та кінематичними характеристиками визначити сили. Друга задача: за даними інерційними, конструктивними характеристиками та силами, що діють на об’єкт визначити кінематичні характеристики.

§ 1.2. Закони класичної механіки.

Інерціальна система відліку

2 закон (основний)

3 закон (дії протидії)

1 закон (інерції)

Закони класичної механіки

Сформульовані в 1687 р. І. Ньютоном в книзі “Математичні начала натуральної філософії”.

Перший закон.Матеріальна точка зберігає стан спокою, або рівномірного прямолінійного руху доти, поки дія інших тіл не змінить цей стан.

Другий закон – основний. Згадайте цей закон. Зверніть увагу на те, що не можна формулювати його так: , бо змінюється суть. Треба починати з прискорення, а не з сили, бо причиною прискорення є сила.

Прискорення, з яким рухається матеріальна точка, пропорційне прикладеній до точки силі, обернено пропорційне масі, спрямоване вздовж сили.

Якщо декілька сил діють на точку, то, звичайно, замість однієї сили буде сума сил, тобто

Перші два закони мають місце в інерціальній системі відліку!

Третій закон (закон дії протидії)– два тіла взаємодіють між собою з силами рівними за модулем і протилежним за напрямком.

Зверніть увагу, що йдеться про два тіла

В другому законі ми зустрілися з поняттям маса

Маса – міра інертності тіла при поступальному русі.

Інертність – властивість тіла зберігати стан спокою, чи рівномірного прямолінійного руху. Між масою і вагою тіла є зв’язок

(Чисельна величина прискорення вільного падіння g змінюється в залежності від положення тіла на Землі )

Поряд з “інертною масою” в механіці є “маса тяжіння”, яка входить в закон всесвітнього тяжіння. Доведено, що чисельні величини цих мас однакові. Одиниці вимірювання: [m] = кг, [F] = H, [a] = м/с²

Почнемо з найпростішого об’єкту вивчення.

Динаміка точки.

§ 1.3. Диференціальні рівняння руху матеріальної точки. Дві задачі динаміки точки.

(Скільки способів завдання руху в “Кінематиці”? відповідь - три)

Природна (натуральна) форма

Координатна форма

Векторна форма

Диференціальні рівняння руху

Маємо три форми диференціальних рівнянь руху (Д.Р.Р.). Розглянемо рух вільної точки масою m, на яку діє система сил { }, к= 1,2...

Згадаємо, що при Осі координат Декартові, При природному

векторному способі тому в “Кінематиці” способі завдання руху

завдання руху точки її задати рух – це задати точки відомі

радіус – вектор функція координати , - траєкторія

часу , - дугова координата

з початком відрахунку

Для точки з масою Спроціювавши (1.3) на Згадаємо, що осі

рівняння(1.3), осі Ox,Oy,Oz, врахувавши, координат при цьому

враховуючи, що що , , були такі:

маємо: - дотична

- головна нормаль

- бінормаль

Маючи Д.Р.Р. точки в одному з видів (1.5), (1.6), (1.7) можна розв’язати дві основні задачі динаміки точки.

1. Відомі кінематичні рівняння руху точки заданої маси. Визначити одну з сил, що діє на точку (перша задача динаміки).

2. Відомі сили, що діють на точку в довільний момент часу і маса точки. Визначити кінематичні рівняння руху точки при заданих початкових умовах (друга задача динаміки).

Рекомендації для практичних занять на тему “Друга задача динаміки точки”

Розглянемо, наприклад, рух точки в площині Oxy. Пропонується така послідовність дій.

1. Вибираємо систему відліку (осі координат, t=0) і показуємо точку в довільному положенні.

2. Виходячи з умови задачі, формулюємо початкові умови, тобто записуємо значення проекції початкової швидкості на осі , та початкові координати x_o, y_o

3. На рисунку показуємо сили, які діють на точку в довільному положенні

4. Складаємо Д.Р.Р. точки. Для прикладу

5. Інтегруємо складені диференціальні рівняння; якщо права частина рівняння (тобто сили) постійна, залежить від часу, чи швидкості методом поділу змінних; якщо сила – функція координат, то можна ввести заміну , а потім інтегрувати.

6. При інтегруванні, звичайно, виникають постійні інтегрування; для того щоб їх визначити користуються початковими умовами.

?

?

?

Траєкторія руху вільної точки відносно інерціальної системи відліку залежить:

Запитання. Від чого залежить траєкторія матеріальної точки по відношенню до інерціальної системи відліку (самостійно)?

Зауваження.

Диференціальні рівняння руху невільної матеріальної точки відрізняються від Д.Р.Р. вільної точки наявністю в правих частинах рівнянь (1.5) ÷ (1.7) реакцій в’язей, які, звичайно, невідомі. Тому на практиці осі координат краще вибирати так, щоб реакції в’язей не проектувалися на ці осі.

Питання для самоконтролю.

1. Запишіть диференціальні рівняння руху матеріальної точки в декартових координатах.

2. Які рівняння називаються диференціальними рівняннями руху точки в натуральній формі?

3. Сформулюйте першу основну задачу динаміки матеріальної точки.

4. Яка сутність другої основної задачі динаміки матеріальної точки?

5. Як визначають постійні інтегрування диференціальних рівнянь руху матеріальної точки?

Динамікамеханічної системи.

Тема 2. Вступ до “Динаміки механічної системи”.

Означення: Механічна система – це сукупність матеріальних точок (часто тіл), в якій положення, або рух кожної залежить від положення, або руху, решти. Взаємодіють між собою елементи механічної системи за законом рівності дії протидії.

Розрізняють моделі механічної системи:

1.

складаються з матеріальних точок

теоретична вільна;

2. теоретична невільна;

3. практична (завжди невільна) – складається з тіл;

4. незмінна – така модель, в якої відстані між точками не змінюються;

Основна мета розділу “Динаміка“ в технічному ВУЗі: навчитись складати динамічні рівняння практичних моделей (Д.Р.Р.).

Способи складання динамічних рівнянь руху системи

Диференціальні рівняння руху точок

Загальні теореми динаміки

Принципи аналітичної механіки

Теорема про зміну кількості руху

Теорема про зміну кінетичного моменту

Теорема про зміну кінетичної енергії

Принцип можливих переміщень (Лагранжа)

Принцип умовного зрівноваження сил (Д’Аламбера)

Принцип Д’Аламбера – Лагранжа

Рівняння Лагранжу ІІ роду

§ 2.1. Структурні та інерційні характеристики механічної системи.

Структурні та інерційні характеристики механічної системи:
Маса		Центр мас		Моменти інерції
Маса системи – арифметична сума елементів системи	Центр мас – геометрична точка, навколо якої групуються маси елементів системи. Її положення визначається радіусом–вектором (2.1) Координати центра мас:	– полярний: – осьовий: – відцентровий:

Момент інерції механічної системи відносно деякого геометричного елемента (точки, осі, площини) називається сума добутків мас точок системи на квадрат їх відстаней до даного елемента. Не позначаючи відносно чого момент інерції маємо для системи, яка складається з n точок:

Якщо маса системи розподілена неперервно (наприклад, тверде тіло), то має місце формула:

де dm – маса елементарного об’єму;

h – відстань цього об’єму до точки, чи до осі, чи до площини;

v – об’єм тіла.

Запишемо формули моментів інерції системи, що складається з n точок (рис. 2.1):

– Полярний відносно точки О: ;

– Осьовий відносно осі Оz: ;

– Відцентровий: .

Зауваження.

1. Пізніше Ви переконаєтесь, що моменти інерції – це є міри інертності тіл, що виконують обертальні рухи.

2. Важливим буде знаходити такі осі для обертання тіл, відносно яких відцентрові моменти інерції дорівнюють нулеві. Наприклад I_xz=I_yz=0. Тоді вісь Оz називається головною!