Тема 12. Вплив лінійного опору на лінійні власні коливання системи з одним ступенем вільності.

Література[2] Гл. 7 § 2.

[4] § 11.3

[3] § 9

§ 12.1. Узагальнена сила опору. Функція Релея.

Нехай на кожну точку системи діє сила опору, яка залежить від першого ступеня швидкості точки.

де - коефіцієнт опору середовища.

Визначимо узагальнену силу опору, скориставшись формулою узагальненої сили (8.2)

Підставимо значення сили опору (12.1), а також врахуємо тотожність Лагранжа

Тоді

Введемо функцію Релея, яка вперше була запропонована Джоном Релеєм в 1878 р. в книзі “Теорія звуку”

Тоді узагальнена сила опору має вигляд

Узагальнена сила опору, що відповідає “і”- тій узагальненій координаті, дорівнює взятій з протилежним знаком частинній похідній по відповідній узагальненій швидкості від функції Релея.

Функція Ф за своєю структурою аналогічна кінетичній енергії, де замість мас точок m_k стоять коефіцієнти опору β_k. Виразимо функцію Ф через та для системи з одним ступенем вільності, аналогічно кінетичній енергії

, де

З’ясуємо фізичний зміст функції Релея без доведення

При дії сил опору повна енергія механічної системи Е зменшується, розсіюється, тому функцію Ф називають ще функцією розсіювання.

Висновок. Подвійна функція Релея вимірює швидкість розсіювання повної механічної енергії.

§ 12.2. Постановка задачі. Диференціальне рівняння руху.

Розглянемо рух М.С. з одним ступенем вільності поблизу положення стійкої рівноваги. На систему діють потенціальні сили і сили лінійного опору. Положення системи в довільний момент часу визначається координатою q.

Кінетична і потенціальна енергія системи має наближене значення в вигляді (10.5) та (10.7) , (відповідно)

Дисипативну функцію (12.4) отримаємо також в наближеному вигляді, для цього функцію В(q) розкладемо в ряд Маклорена

.

Оскільки утримуються члени другого порядку малості, достатньо в ряді (12.6) залишити перший доданок В(0). Позначимо В(0)=b – узагальнений коефіцієнт опору. Тоді

Складемо диференціальне рівняння руху системи з допомогою рівняння Лагранжу другого роду (10.3), де Q^{непотенц.} – є узагальнена сила опору.

Похідні мають такий вигляд , , , . Тому диференціальне рівняння руху має вигляд

Поділимо на і введемо позначення , . Згадаємо, що

- кругова частота власних коливань без врахування сил опору. Величину називають коефіцієнт затухання.

Диференціальне рівняння руху з врахуванням введених позначень буде таким

§ 12.3. Інтегрування диференціального рівняння руху.

Рівняння (12.8) – лінійне однорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами. Згадаємо, як виглядає характеристичне рівняння

Корені характеристичного рівняння

Мають місце три випадки

1. - випадок малого опору.

2. - випадок великого опору.

3. - випадок критичного опору.

Розглянемо ці випадки.

1. Випадок малого опору

Позначимо , тоді

Розв’язок диференціального рівняння (12.8) має вигляд

де С₁, С₂ – постійні інтегрування. Перейдемо до амплітудної форми (як ми робили в § 11.3)

, , ,

Тоді

Скористаємось початковими умовами для визначення постійних С₁ та С₂. Для цього отримаємо швидкість в довільний момент часу

При t=0:

Відповідно постійні А та α дорівнюють згідно з (12.11)

, .

§ 12.4. Властивості руху при малому опорі.

Щоб з’ясувати, як змінюється координати q(t) з часом побудуємо її графік, скориставшись (12.12). Для синусоїди обмежуючими будуть криві 1 та 2

З графіка функції q(t) бачимо, що величини послідовних найбільших відхилень від положення рівноваги зменшується з часом, прагнучи до нуля. Тому рух, який визначається рівняннями (12.10) чи (12.12) називають затухаючими коливаннями.

Умовним періодом буде період функції , тобто

Виразимо через період власних коливань τ, для цього скористаємось біномом Ньютона

Для дуже малого опору, коли , .

Змінну величину називають умовною амплітудою затухаючих коливань. Вона зменшується за законом спадної геометричної прогресії. Величину відношення двох послідовних максимумів називають декрементом коливань.

Натуральний логарифм декремента називають логарифмічним декрементом коливань

Він виражає темп затухання умовних амплітуд.