Тема 13. Вимушені коливання механічної системи з одним ступенем вільності (без врахування опору).

Література: [2] Гл. 7. §2.

[4] Гл. 11.3.

[3] §6–8.

§ 13.1. Постановка задачі.

Вимушеними називають коливання під дією: зовнішніх періодичних сил, або періодичних переміщень.

В першому випадку кажуть про силове збудження. Наприклад. В практиці віброобробки застосовується вібромашина (Рис. 1.). Мета: відшліфувати деталі, зняти з них заусениці. За рахунок ексцентрика, маса якого m, створюється збурююча сила F=mω ² l, проекції якої на осі координат – періодичні функції аргументу ωt; наприклад F_y=mω ² lsin(ωt+δ).

Прикладом кінематичного збудження є хвилеподібна форма дороги (Рис. 13.2).

Розглядаються малі рухи механічної системи поблизу положення стійкої рівноваги. Діють сили: крім потенціальних, збурюючі періодичні. Нехай узагальнену силу, що відповідає вибраній узагальненій координаті q ми визначимо

де Н – амплітуда, р – частота, δ – початкова фаза узагальненої збурюючої сили.

Кінетична і потенціальна енергії системи мають вигляд

а – коефіцієнт інерції,

с – коефіцієнт жорсткості.

Згадаємо метод вивчення коливань (§ 10.3):

1. Скласти диференціальні рівняння руху;

2. Проінтегрувати диференціальні рівняння руху;

3. Вивчити властивості руху.

§ 13.2. Диференціальне рівняння вимушених коливань.

Скористаємось рівнянням Лагранжу ІІ роду (§ 10.3), де Q^{непотенц.} – є узагальнена збурюючи сила.

Похідні ми знаходили раніше , . Узагальнена потенціальна сила дорівнює , . Таким чином, маємо

Поділимо ліву і праву частини рівняння (13.3) на коефіцієнт інерції а та введемо позначення: (згадаємо що ω – це частота власних коливань).

Тоді диференціальне рівняння має вигляд

§ 13.3. Рівняння (закон) руху.

Отримаємо, проінтегрувавши (13.4). Що це за рівняння з точки зору математики? Відповідь: ЛНДР – лінійне неоднорідне диференціальне рівняння ІІ порядку з постійними коефіцієнтами. Його загальний розв’язок є сума розв’язків

де: – загальний розв’язок однорідного рівняння;

– частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

ми вже знайшли в темі 11 (дивись формулу (11.4))

Вигляд залежить від виду правої частини. Якщо p¹ω, то q*=Bsin(pt+δ). Щоб знайти постійну В треба підставити q* в рівняння(13.4), враховуючи, що . Маємо, прирівнявши коефіцієнти при sin(pt+δ)

тобто

Закон руху, згідно з (13.5) має вигляд

З початкових умов визначимо постійні С₁ та С₂. Для цього отримаємо швидкість в довільний момент часу.

При t=0

Звідси:

Маємо закон руху з врахуванням початкових умов

Пам’ятаємо, що

Висновок з формули (13.9)

Власні коливання складаються з двох рухів:

– амплітуда першого з них (перші два доданки) залежить від початкових умов;

– амплітуда другого руху залежить як від параметрів системи (бо ) так і від параметрів збурюючої сили Н, р, δ.

Цікавий факт! Навіть при нульових початкових умовах власні коливання з частотою ω мають місце.

§ 13.4. Властивості вимушених коливань.

Вимушені коливання це ті, що відбуваються з частотою збурюючої сили, тобто р. Закон вимушених коливань – це власне q*.

Властивості:

1). Рух гармонійний, періодичний з частотою р збурюючої сили.

2). Амплітуда – залежить від параметрів системи с і а (бо ) і від параметрів збурюючої сили Н, р.

Дослідимо формулу амплітуди більш детально, а саме винесемо з знаменника ω².

де – назвемо коефіцієнтом розладнання (расстройки на рос. мові).

Введемо поняття коефіцієнта динамічності

де – коефіцієнт динамічності.

3). Якщо p→ ω, А_вим прагне до нескінченності. Якщо p<< ω, А_вим малі, тобто збурюючі сили з великими частотами безпечні.

На рис. 13.3 випадкові резонансу відповідає одна точка (коли z=1), δ=π/2

Побудуємо графік залежності модуля амплітуди вимушених коливань від коефіцієнту розладнання

 

Розглянемо зсув фази коливань по відношенню до збурюючої сили. Для цього перепишемо вирази збурюючої сили і закону вимушених коливань.

 

1) Якщо р<ω, А_вим.>0, максимуму сили відповідає максимум координати. На рис. 13.4 суцільна лінія – Q^зб., пунктирна q_вим..

2) Якщо p> ω, – координата з силою в противофазі. Тобто має місце залежність на рис. 13.5

Ми розглянули закон і властивості руху для випадку, коли р≠ω, тобто частота збурюючої сили і частота власних коливань не співпадають.

§ 13.5. Випадок резонансу.

Це випадок, коли p=ω (частоти збурюючої сили і власних коливань співпадають). В цьому випадку розв’язок диференціального рівняння руху (13.4) шукають в іншому вигляді, а саме

Через те, що (13.12) – розв’язок рівняння (13.4), підставимо його в це диференціальне рівняння, отримавши спочатку похідні

Після підстановки маємо , тобто .

Тоді (13.12):

Загальний розв’язок згідно (13.5)

Звичайно, останній доданок зростає з часом, його графік і побудуємо

Це косинусоїда з змінними зростаючими амплітудами.

Властивості руху:

1. При резонансі коливання відбуваються з наростаючою за законом арифметичної прогресії амплітудою.

2. Порівняємо фази сили і координати

координата ;

сила .

Фази відрізняються на , тобто якщо сила досягає максимуму, координата – мінімуму і навпаки. На рис. 13.7 знову суцільна лінія – збурюючи сила, пунктирна – координата.