Тема 4. Теорема про зміну кінетичного моменту. Динамічні рівняння руху твердих тіл.

Література: [1] § 55-57,

[2] Гл.4 § 4.

Згадаємо 3 приклади руху тіл, масою М.

1. Поступальний рух:

 

 

2. Плоско-паралельний рух колеса, що котиться:

 

3. Обертальний рух колеса навколо центральної осі СZ:

 

 

Визначимо кількість руху в цих випадках: в першому випадку і в другому , в третьому випадку , хоча бачимо, що тіло рухається (має кутову швидкість ).

Висновок: Кількість руху – міра тільки поступального руху! Це не є універсальна міра руху. Треба вводити інші динамічні міри. Зокрема, для обертального руху - це буде момент кількості руху, або інша назва - кінетичний момент.

§4.1 Кінетичний момент матеріальної точки та механічної системи.

	Момент кількості руху, або кінетичний момент
Відносно центру		Відносно осі

§4.1.1 Кінетичний момент відносно центру.

Згадаємо: коли ми мали справу з моментом?

В розділі “Статика”- це був момент сили відносно центру і відносно осі.

Аналогічно введемо поняття момент кількості руху матеріальної точки відносно центру О. Маємо точку масою , вектор кількості її руху прикладений в цій точці (Рис. 4.1).

Означення: Моментом кількості руху (кінетичним моментом) точки відносно центра О (Рис. 4.1) називаємо векторний добуток радіуса-вектора точки на її кількість руху.

Модуль

Вектор перпендикулярний до площини, в якій розташовані вектор і центр О.

Означення: Моментом кількості руху (кінетичним моментом) механічної системи відносно центра О називається геометрична сума кінетичних моментів всіх точок механічної системи відносно даного центра.

§4.1.2. Кінетичний момент відносно осі.

Знову згадаємо момент сили відносно осі:

Аналогічно введемо поняття момент кількості руху (кінетичний момент) матеріальної точки відносно осі.

Означення: Кінетичним моментом точки відносно осі називається добуток (взятий з відповідним знаком) проекції вектора кількості руху точки на площину, яка перпендикулярна до осі, на відстань цієї проекції до точки перетину осі з площиною.

Між кінетичними моментами є зв’язок такий самий, як між моментами сили. А саме:

Проекція кінетичного моменту матеріальної точки відносно деякого центру на вісь, яка проходить через цей центр, дорівнює кінетичному моментові точки відносно цієї осі.

Означення: Кінетичним моментом механічної системи відносно осі називається алгебраїчна сума кінетичних моментів точок системи відносно цієї ж осі.

Для практики важливо знати кінетичний момент твердого тіла при його обертальному русі навколо осі, відносно цієї осі.

Пам’ятаєте був розглянутий випадок:

і перша міра руху, яку ми ввели – кількість руху тіла , дорівнювала нулеві. Подивимось, чому дорівнює кінетичний момент цього тіла відносно осі обертання.

§4.2. Кінетичний момент тіла відносно осі обертання.

Розглянемо випадок механічної системи – тверде тіло, яке обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю .І визначимо його кінетичний момент відносно осі обертання.

Вектор кількості руху точки m_k за модулем дорівнює ,бо з “Кінематики” відомо, що:

Вектор лежить в площині, перпендикулярній до осі обертання.

Тому кінетичний момент механічної системи – твердого тіла, яке складається з “n” точок відносно осі Oz, згідно з (4.6), дорівнює:

Оскільки - момент інерції тіла відносно осі Oz, то формула (а) набуває вигляду:

Означення. Кінетичний момент твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, відносно осі обертання дорівнює добуткові моменту інерції тіла відносно цієї осі на кутову швидкість тіла.

Порівняємо формули кількості руху (3.2) і кінетичного моменту (4.7)

- міра поступального руху.

- міра обертального руху тіла навколо центральної головної осі. Центральна головна вісь – вісь, відносно якої відцентрові моменти інерції .

Висновок: Маса – міра інертності тіла, що рухається поступально. Осьовий момент інерції – міра інертності тіла, що обертається навколо осі.

Зауваження. Для випадку обертання тіла навколо довільної осі кінетичні моменти відносно інших осей не дорівнюють нулеві, а дорівнюють , .

§4.3. Теорема про зміну кінетичного моменту.

Згадаємо першу загальну теорему – про зміну кількості руху (3.4)..

?

Тепер нас цікавить питання: який зв’язок між мірами руху та мірами взаємодії

Візьмемо похідну від кінетичного моменту відносно центру О, враховуючи формулу (4.3):

Перша сума дорівнює нулеві за властивістю векторного добутку. В другій сумі маємо - основний закон динаміки “к”-ої точки, к=1,2..n

Тоді продовжимо викладки:

Через те, що друга сума дорівнює нулеві (Чому?) маємо:

Теорема. Похідна по часу від кінетичного моменту механічної системи відносно деякого центра дорівнює геометричній сумі моментів всіх зовнішніх сіл, що діють на систему, відносно даного центра.

Спроєціювавши векторну рівність (4.8) на вісь Оz, маємо теорему відносно осі

(Сформулювати самостійно).

§ 4.4. Диференціальні рівняння простих рухів.

З “Кінематики” відомо, що до простих рухів твердого тіла відносяться поступальний рух і обертальний рух навколо нерухомої осі.

При поступальному русі всі точки тіла рухаються однаково. Тому диференціальні рівняння руху центра мас тіла є диференціальними рівняннями поступального руху тіла. Спроектувавши векторну рівність (3.3) на осі координат, маємо

Таким чином, рівняння (4.10) – динамічні рівняння поступального руху твердого тіла.

Отримаємо динамічне рівняння обертального руху тіла навколо нерухомої осі, скориставшись теоремою (4.9), враховуючи (4.7)

Якщо ,то маємо

Індекс “е” можна опустити і в рівняннях (4.10) і в (4.11), бо йдеться про сили, що діють на тіло, звичайно, ззовні.

Рівнянню (4.11) можна придати інших форм, враховуючи, що

§4.5. Динамічні рівняння плоско–паралельного руху твердого тіла.

Як відомо, з розділу “Кінематика”, замість вивчення плоско–паралельного руху тіла, вивчають рух тіла площиною, паралельною основній нерухомій площині Н, тобто перерізу S в своїй площині.

Поступальний рух разом з полюсом

Обертальний навколо осі, яка проходить через полюс, перпендикулярно пл. Оху.

Плоский рух в пл. Оху

При вивченні динаміки плоского руху за полюс вибирають точку С – центр мас тіла. Вісь Сz, відносно якої відбувається обертальний рух, є рухомою.

Динамічні рівняння поступального руху ми вже маємо, це рівняння (4.10). Скористатись динамічними рівняннями обертального руху (4.11¹¹) нема підстави, бо вісь Сz при плоскому русі є рухомою віссю. Тому розглянемо наступну теорему.

§4.5.1. Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи при відносному русі.

Розглядаємо рух механічної системи відносно двох систем координат: О₁х₁у₁z₁ – нерухомої та Схуz – рухомої, що рухається поступально по відношенню до нерухомої системи координат О₁х₁у₁z₁ (така система координат називається Кьоніговою).

Тоді, як відомо, абсолютна швидкість кожної точки є векторна сума переносної швидкості (вона дорівнює швидкості точки С) та відносної швидкості точки .

Радіуси–вектори “к”–ої точки зв’язані такою формулою

Визначимо кінетичний момент механічної системи, яка складається з “n” точок, відносно центру О

Покажемо, що два середніх доданки дорівнюють нулеві, через те, що (дивись формулу (2.1)), а радіус–вектор центру мас відносно самого себе (т.С) дорівнює нулеві. З тієї ж причини . Тоді

Тут . Згадаємо формулу (4.8) і візьмемо похідну по часу від лівої і правої частин формули (4.12). Тоді маємо

В лівій частині рівності (с) запишемо суму моментів сил – відносно точки О, згадавши означення вектору – моменту сили відносно точки (розділ “Статика”), а саме , де . Тоді (с) має такий вигляд, якщо : , або

Теорема. Похідна по часу від кінетичного моменту механічної системи при її відносному русі відносно центру мас геометрично дорівнює головному моментові зовнішніх сил, що діють на систему, відносно центру мас (мається на увазі відносний рух по відношенню до Кьонігової системи координат).

Спроєціювавши (4.13) на вісь, що проходить через точку С, наприклад Сz, отримаємо

Порівняйте з (4.8).

§4.5.2. Динамічні рівняння плоского руху.

На переріз тіла S діють сили (звичайно вони є зовнішніми); маса тіла М. Динамічні рівняння плоского руху отримаємо, скориставшись динамічними рівняннями поступального руху (4.10) в пло щині хОу, та теоремою про зміну кіне тичного моменту тіла у його відносному русі – обертальному навколо рухомої осі Сz (4.14). При цьому вважаємо, що форма тіла відома і осьовий момент інерції тіла також відомий, тому кінетичний момент тіла від носно осі Сz дорівнює L_Cz=I_Czω.

Таким чином, динамічні рівняння плоского руху мають вигляд:

Самостійно. Записати зміст першої та другої задачі динаміки твердого тіла, що здійснює плоский рух.

§4.6. Наслідки теорем. Закони збереження кінетичних моментів.

З формули (4.8) випливає що, якщо

З формули (4.9) аналогічно маємо, якщо

Отже, якщо сума моментів зовнішніх сил, що діють на систему, відносно деякого центра (або осі) дорівнює нулеві, то кінетичний момент системи відносно цього центра (або осі) не змінюється.

Це закони збереження кінетичних моментів.

Приклади:

1). При обертанні тіла навколо нерухомої осі, якщо його форма (а значить, осьовий момент інерції змінюється), то зміниться і кутова швидкість.

тобто

при збільшенні моменту інерції системи, кутова швидкість зменшується.

Цю умову наглядно демонструють на “стільці Жуковського” – горизонтальній платформі яка може обертатись навколо вертикальної осі при дуже малому терті. Якщо на платформі знаходиться людина і вона обертається навколо осі, то зовнішніми силами є тільки сили ваги і реакція опори. Сума моментів зовнішніх сил відносно осі обертання дорівнює нулеві, а тому . Змінюючи положення рук (змінюється осьовий момент інерції) людина змінює кутову швидкість.

2). При розкачуванні качелі, присідаючи і піднімаючись людина збільшує і зменшує момент інерції відносно осі обертання; відповідно змінюється і кутова швидкість.