Тема 10. Вступ в теорію малих лінійних коливань.

Література: [2] Гл. 7. §1.

[4] Гл. 11.1.

[3] §1–4.

§ 10.1. Види механічних коливань.

Механічні коливання – це найбільш поширений рух механічної системи: транспортні машини, деталі машин, фундаменти, мости, верстати і ін.

Потенціальні Fтяж, Fпруж

Потенціальні, сили опору, збурюючи

Потенціальні, збурюючи

Потенціальні, сили опору лінійні

В ідеальному середовищі

З врахуванням лінійного опору

Вимушені

Затухаючі

Вільні власні

Види коливань

В залежності від сил, які діють розрізняють.

Розрізняють коливання в залежності від виду деформації, а значить від пружних сил, чи їх моментів. Наприклад: коливання шпиндельного валу. До ріжучого інструменту прикладена сила різання Р(Р_x, Р_y, Р_z).

q₁=x

q₂=

q₃=z

Згінні

Повздовжні

Крутильні

Види коливань в залежності від деформацій

Будемо вивчати рух механічної системи в узагальнених координатах, в прикладі Рис.10.1. q₁=x, q₂= , q₃=z. Тому незалежно від виду руху властивості руху зберігаються.

§ 10.2. Поняття про стійкість рівноваги. Теорема Лагранжа – Діріхле.

Байдуже положення

Нестійке положення

Стійке положення

Поставимо собі за мету вивчити характер руху механічної системи з “р” ступенями вільності, на яку накладені голономні в’язі, і діють потенціальні сили поблизу положення стійкої рівноваги. Що таке стійка рівновага?

Нехай в положенні рівноваги всі узагальнені координати і всі узагальнені швидкості . В деякий момент часу t₀ виведемо систему з положення рівноваги, тобто задамо , . Якщо при всіх t>t₀ координати і швидкості і – малі, менші ніж початкові , , то таке положення рівноваги стійке.

Означення по Ляпунову О.М.

Положення рівноваги механічної системи називають стійким, якщо для вибраних довільно досить малих ε₁ і ε₂ можна вказати такі додатні числа η₁ і η₂, що при

всі значення узагальнених координат і швидкостей при довільному досить великому t будуть менші ніж ε₁ і ε₂, тобто

Ляпунов О.М. (1857–1919) Харків, 1892р. “Загальна задача про стійкість руху” (докторська дисертація).

Є спеціальні теореми про стійкість і нестійкість руху чи рівноваги.

Теорема Лагранжа – Діріхле встановлює достатні умови стійкого положення рівноваги.

Для стійкого положення рівноваги системи з голономними ідеальними стаціонарними двосторонніми в’язями, що знаходиться в стаціонарному потенціальному силовому полі, достатньо, щоб в цьому положенні рівноваги потенціальна енергія системи мала мінімум.

Нагадаю, що в положенні рівноваги кожна узагальнена потенціальна сила дорівнює нулеві, тому

Згадаємо, як дослідити функцію на екстремум. Треба спочатку прирівняти перші похідні нулеві (це і є формули (10.1)), а потім з’ясувати знак других похідних. Якщо йдеться про мінімум, то другі (змішані) похідні повинні бути додатними, тобто

Приймемо теорему без доведення.

Іще розглянемо один приклад на тему “Дослідження стійкої рівноваги”.

Приклад. Вантаж М, прикріплений до невагомого стержня, довжина якого l. Другий кінець тримається шарніром О, в деякій точці В до стержня прикріплені дві пружини з відомим коефіцієнтом жорсткості С. (Демонстраційна установка).

Якщо розглянути перше положення, коли точка О знаходиться вгорі, то при любому положенні точки В рівновага стійка. Що буде при другому положенні (точка О внизу)? Зовсім інші результати.

В залежності від положення точки В: кулька або повертається в початкове положення, або ні! Для того, щоб з’ясувати при якому значенні координати ОВ=у, положення рівноваги буде стійким, треба знайти потенціальну енергію системи. Потенціальна енергія системи в відхиленому на кут φ положенні дорівнює сумі робіт потенціальних сил при переміщенні з даного положення в нульове (φ=0)

Якщо врахувати, що для малих φ , маємо . Умова стійкої рівноваги , дає відповідь: – маємо стійку рівновагу.

§ 10.3. Про особливості методу вивчення малих коливань системи.

Повинні виконуватись умови (*):

- наявність потенціальних сил;

- вивчається рух поблизу положення стійкої рівноваги.

Метод вивчення.

1. Для отримання диференціальних рівнянь руху механічної системи будемо використовувати рівняння Лагранжу ІІ роду:

2. Кінетичну і потенціальну енергії системи, які входять в рівняння Лагранжу ІІ роду, будемо брати в наближеному вигляді, бо координати і швидкості – малі величини.