Рівняння площини в просторі.

Рівняння площини, що проходить через дану точку в заданому напрямі має вигляд:

. (9.1)

Рівняння

(9.2)

називається загальним рівнянням площини, якщо коефіцієнт А,В,С одночасно не дорівнюють нулю.

Ненульовий вектор , перпендикулярний до площини, називається нормальним вектором площини.

Розглянемо окремі випадки загального рівняння площини.

1. Нехай D=0. Тоді рівняння площини має вигляд і площина проходить через початок координат.

2. Нехай С = 0. Тоді рівняння площини має вигляд і площина паралельна осі Oz. Аналогічно при А =0 і В = 0 дістанемо площини і , паралельні відповідно осям Ох і Оy.

3. Нехай С = D = 0. Тоді рівняння площини має вигляд і площина проходить через початок координат і паралельна осі Oz. Аналогічно при А = D = 0 і B = D = 0 дістанемо площини і , які проходять відповідно через осі Ох і Oy.

4. Нехай В = С = 0. Тоді рівняння площини має вигляд і площина паралельна осям Oy і Oz, тобто перпендикулярна до осі Ох. Аналогічно при А = В = 0 і А=С= 0 дістанемо площини і , які перпендикулярні відповідно до осей Oz і Oy.

5. Нехай В=С=D=0. Тоді рівняння площини має вигляд , тобто х=0; площина збігається з площиною Оyz.

Аналогічно при А=В=D=0 і А=С=D=0 дістанемо площини z=0 і y=0, які збігаються відповідно з координатними площинами Охy і Охz.

Кут між двома площинами, які перетинаються, і дорівнює куту між її нормальними векторами і і обчислюється за формулою:

. (9.3)

Щоб дві площини були паралельні, їх нормальні вектори і повинні бути колінеарні, тобто

.

Щоб площини були перпендикулярні, їх нормальні вектори і також повинні бути перпендикулярні, тобто

.

Відстань від точки M₀(x₀;y₀;z₀) до площини обчислюється за формулою:

(9.4)

 

Зразки розв’язування задач.

Задача 1. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку

К (2;0;-1) і перпендикулярна до осі Ох.

Розв’язання. Рівняння площини, перпендикулярної до осі Ох, має вигляд Ах+D =0. Підставивши в це рівняння координати точки К, знаходимо 2А+D =0, тобто D= - 2А. Підставивши тепер значення D в рівняння Ах+D =0, дістанемо Ах-2А =0, тобто х-2 =0.

 

Задача 2. Скласти рівняння площини, яка проходить через вісь Оz і через точку М (2;-5;4).

Розв’язання. Рівняння шуканої площини має вигляд Ах+Ву=0. Підставивши в це рівняння координати точки М, дістанемо 2А-5В=0, тобто . Підставивши тепер значення В в рівняння Ах+Ву=0, знаходимо , тобто або 5х+2у=0.

 

Задача 3. Скласти рівняння площини, яка паралельна осі Ох і проходить через точки М₁(3;-1;2) і М₂(-2;3;4).

Розв’язання. Оскільки шукана площина паралельна осі Ох і проходить через точки М₁(3;-1;2) і М₂(-2;3;4), то за її нормальний вектор можна взяти вектор перпендикулярний до векторів і (одиничний вектор на осі Ох). З другого боку, відомо, що векторний добуток двох векторів є вектор, перпендикулярний до векторів співмножників, тому за можна взяти векторний добуток і .

.

Скористаємось рівнянням площини, яка проходить через дану точку

М₂(-2;3;4) перпендикулярно до вектора . Маємо:

2(у-3) -4(z-4) = 0 або y-2z+5 = 0.

 

Задача 4. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку

М(4;-3;1) і паралельна до площини 3х+2у-4z+12=0.

Розв’язання. Оскільки шукана площина паралельна площині 3х+2у-4z+12=0, то за її нормальний вектор можна взяти вектор . Використавши тепер рівняння площини, що проходить через дану точку в заданому напрямі, дістанемо:

3(x-4)+2(y+3)-4(z-1)=0 або 3x+2y-4z-2=0.

 

Задача 5. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки

М₁(2;-4;1) і М₂(-3;5;7) і перпендикулярна до площини 3х+4у-7z+2= 0.

Розв’язання. За нормальний вектор шуканої площини візьмемо векторний добуток векторів і :

Скористаємось рівнянням площини, яка проходить через дану точку М₁(2;-4;1) перпендикулярно до вектора :

-87(x-4)-17(y+3)-47(z-1)= 0 або 87x+17y+47z-153=0.

Задача 6. Знайти гострий кут між площинами 2x-3y+4z-1=0 і 3x-4y- z+3=0.

Розв’язання. Щоб обчислити гострий кут φ між площинами, скористаємось формулою (9.3), причому праву частину рівності беремо за абсолютною величиною, бо cos φ>0. Маємо:

А₁=2, В₁=-3, С₂=4 і

А₂=3, В₂=-4, С₂=-1.

Отже

Тоді, використовуючи таблиці Брадіса, маємо φ=59⁰21'.

 

Задача 7. Знайти відстань від точки А(-5;2;-1) до площини 2х+2у-3z-5=0.

Розв’язання. Відстань від точки до площини знаходиться за формулою (9.4). Маємо:

(од.).

 

Задача 8. Знайти відстань між паралельними площинами 2х-3у+z-2=0 і 4х-6у+2z+7=0.

Розв’язання. Щоб знайти шукану відстань, треба визначити точку, яка належить одній з двох даних площин. Розглянемо площину 4х-6у+2z+7=0. Якщо х=0, у=0, то z=-3,5, тобто точка А(0;0;-3,5) належить площині. Тоді треба знайти відстань від точки А до площини 2х-3у+z-2=0. За формулою (9.4) маємо:

(од.).

 

Задача 9. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки

А(1;2;-3), В(3;-1;2) і С(5;-3;4).

Розв’язання. Нехай точка M(x;y;z) належить до шуканої площини. Складемо три вектори, які будуть виходити з точки А:

Так як вектори належать одній площині, то вони компланарні. За умовою компланарності , маємо:

Тобто 2х+3у+z-5=0 є рівнянням шуканої площини.

 

Завдання для самостійної роботи.

Задача 1. Складіть рівняння площини, яка проходить через точку

M(-2;3;1) і вісь Оz.

Задача 2. Складіть рівняння площини, яка проходить через точки

А(2;1;-2), і В(3;0;4) і перпендикулярна до площини х+2у-z=0.

Задача 3. Обчисліть кут між площинами 2х-3у+5z-2=0 і х-у+z=0.

Задача 4. Знайти відстань між паралельними площинами 2х-3у+z-4=0 і 4х-6у+2z+10=0.

Задача 5. Складіть рівняння площини, яка проходить через точку

M(1;-3;2) паралельно двом векторам: і .