Загальне і канонічне рівняння прямої. Рівняння прямої у відрізках на осях. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки. Перетин двох прямих.

Рівняння вигляду за умови, що коефіцієнти і одночасно не дорівнюють нулю, називається загальним рівнянням прямої. Розглянемо окремі випадки загального рівняння.

Значення коефіцієнтів	Вид рівняння	Положення прямої
		Проходить через початок координат
		Паралельна осі
		Паралельна осі
		Збігається з віссю
		Збігається з віссю

Нехай - задана точка прямої, а - вектор, колінеарний прямій:

називається канонічним рівнянням прямої.

Рівняння прямої у відрізках на осях має вигляд:

де і - відповідно абсциса і ордината точки перетину прямої з осями і .

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вигляд: ,

де - кутовий коефіцієнт, який дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до додатного напряму осі ; - ордината точки перетину прямої з віссю .

Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки і , має вигляд: .

Якщо дано дві прямі і , які перетинаються, то щоб визначити координати точки перетину цих прямих, треба розв’язати систему рівнянь:

Зразки розв’язування задач.

Задача 1. Перевірити, чи належать точки , , , прямій .

Розв’язання. Якщо координати точки задовольняють рівнянню, тобто перетворюють його в тотожність, то ця точка належить заданій прямій; якщо координати точки не задовольняють рівнянню, то точка не належить прямій.

Підставивши замість змінних і в рівняння координати точки , дістанемо тотожність , отже точка належить заданій прямій. Аналогічно переконуємося у тому, що точка належить прямій, а точки і не належать.

Задача 2. Побудуйте прямі:

a) ;

б) ;

в) .

Розв’язання.

а) Щоб побудувати пряму, знайдемо координати точок перетину з осями і . Припустивши, що , дістанемо , , . При дістанемо , , . Через точки і проводимо шукану пряму (рис. 5.1).

б) Знайдемо змінну з рівняння : . На осі візьмемо точку і проведемо пряму паралельно осі (рис. 5.2).

в) Знайдемо змінну з рівняння : .

На осі візьмемо точку і проведемо пряму паралельно осі (рис. 5.3)

Задача 3. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку і паралельна вектору .

Розв’язання. Використовуючи канонічне рівняння прямої, маємо .

Доводимо рівняння до загального вигляду:

; ; .

Задача 4. Загальне рівняння прямої перетворити в рівняння у відрізках на осях та побудувати пряму.

Розв’язання. Перетворимо рівняння: . Праву та ліву частини рівняння розділимо на : .

Тоді - рівняння у відрізках на осях.

Тобто і . Отже дістанемо точки і . Пряма, яка проведена через точки і - шукана (рис. 5.4).

Задача 5. Обчислить кутовий коефіцієнт прямої .

Розв’язання. Розв’язавши рівняння відносно , дістанемо , звідки .

Задача 6. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку і утворює з віссю кут 135⁰.

Розв’язання. Щоб скласти шукане рівняння прямої, треба знайти і . Знайдемо кутовий коефіцієнт . Для визначення підставимо в рівняння з кутовим коефіцієнтом координати даної точки і значення . Дістанемо: , звідки . Шукане рівняння має вигляд .

Задача 7. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки і .

Розв’язання. За умовою задачі: , , , . Підставивши ці значення в рівняння прямої, яка проходить через дві точки, дістанемо: ; і .

Задача 8. Трикутник задано вершинами: , .і . Складіть рівняння медіани .

Розв’язання. Знайдемо координати точки - середини сторони :

; ;

; .

Отже, координати точки дорівнюють . Тоді рівняння сторони , де , має вигляд: ;

;

;

;

;

.

Задача 9. Знайдіть вершини трикутника, якщо його сторони задано рівняннями. ; ; .

Розв’язання. Щоб знайти координати вершин трикутника, треба розв’язати три системи рівнянь:

.

Перша система має розв’язок:

Друга система має розв’язок:

.

Третя система має розв’язок:

.

Отже, вершинами трикутника є точки ; ; .

Завдання для самостійної роботи.

1. При якому значенні коефіцієнта пряма проходить через точку перетину прямих і .

2. Пряма проходить через точку і утворює з віссю кут, що дорівнює . Знайдіть на цій прямій точку з абсцисою .

3. Дано рівняння сторін трикутника: ; і . Знайдіть рівняння його медіан.

4. На прямій знайдіть точку, яка лежить від осі в три рази далі, ніж від осі .

5. Складіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до даного вектора і проходить через точку перетину даних прямих:

a) , ; .

b) ; ; .

6. Кут між двома прямими. Пучок прямих, які проходять через дану точку. Нормальне рівняння прямої. Відстань від точки до прямої.

Кут між двома прямими, які задані загальними рівняннями і , обчислюється за формулою:

.

Якщо прямі задані рівняннями і , то кут між прямими обчислюється за формулою .

Умова паралельності двох прямих: ; .

Умова перпендикулярності двох прямих: ; .

Рівняння пучка прямих, які проходять через дану точку , має вигляд: .

Нормальне рівняння прямої одержуємо з загального рівняння , якщо останнє поділити на і вибрати знак протилежний знаку .

Відстань від точки до прямої обчислюється за формулою: .

Зразки розв’язування задач.

Задача 1. Знайти гострий кут між прямими:

1) і .

2) і .

Розв’язання.

1) Кутові коефіцієнти даних прямих дорівнюють і . Тангенс куту між прямими беремо за модулем: . Отже .

2) Косинус кута між прямими беремо за модулем: . Отже .

Задача 2. Дано трикутник з вершинами , і . Знайдіть внутрішні кути цього трикутника.

Розв’язання. Знаходимо кутові коефіцієнти сторін цього трикутника:

; ;

.

Знайдемо кути трикутника:

; ;

. Отже ; ; .

 

Задача 3. Які з прямих паралельні?

; ; ; .

Розв’язання. Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти. Знайдемо кутові коефіцієнти прямих: ; ; ; . Таким чином, , а це означає, що перша та друга прямі – паралельні.

Задача 4. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно прямій .

Розв’язання. Знайдемо кутовий коефіцієнт даної прямої: ; ; .

Оскільки дана і шукана прямі паралельні, то їх кутові коефіцієнти рівні, тобто . Шукана пряма проходить через точку і має кутовий коефіцієнт . Тоді її рівняння запишемо у вигляді: , або .

Задача 5. При якому значенні параметра прямі і перпендикулярні?

Розв’язання. Кутові коефіцієнти перпендикулярних прямих зв’язані між собою співвідношенням: . Для даних прямих: . Звідки, .

Задача 6. Перевірте, чи перпендикулярні прямі:

1) і ;

2) і ;

3) і .

Розв’язання.

1) Перевіримо виконання умови . Для даних прямих: ; ; ; . Тоді . Це означає, що прямі неперпендикулярні.

2) Якщо прямі задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами, то умова перпендикулярності має вигляд: . Кутові коефіцієнти даних прямих дорівнюють: ; . Умова перпендикулярності не виконується, отже, прямі неперпендикулярні.

3) Рівняння першої прямої запишемо у вигляді: . Тоді . Друга пряма має кутовий коефіцієнт: . Умова перпендикулярності виконується: ; . Прямі перпендикулярні.

Задача 7. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно до прямої .

Розв’язання. Знайдемо кутовий коефіцієнт даної прямої: . Тоді кутовий коефіцієнт шуканої прямої . Отже її рівняння має вигляд , або .

Задача 8. Знайдіть відстань від точки до прямої .

Розв’язання. Використовуючи формулу для обчислювання відстані від точки до прямої, дістанемо:

.

Задача 9. Знайдіть відстань між двома паралельними прямими і .

Розв’язання. Знайдемо будь-яку точку на першій прямій. Якщо візьмемо , то . Тоді . Таким чином, точка належить першій прямій. Отже, відстань від цієї точки до прямої обчислюється за формулою . Одержуємо .

Завдання для самостійної роботи.

1.Складіть рівняння прямих, які проходять через точку під кутом до прямої .

2.Знайдіть рівняння двох перпендикулярів до прямої у точках перетину її з осями координат.

3.Трикутник задано вершинами , і . Знайдіть: кути і ;рівняння висоти, яка проведена з вершини ; довжину перпендикуляра до сторони , який проходить через вершину .

4. Дві протилежні вершини квадрата лежать у точках і .Складіть рівняння сторін і діагоналей цього квадрата.