Розділ 8. Диференціальні рівняння

Розділ 8. Диференціальні рівняння

Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення

Розглянемо декілька прикладів. Нехай швидкість знецінювання устаткування внаслідок його зносу пропорційна в кожен даний момент часу його фактичній вартості. Початкова вартість – . Поставимо питання: якою буде вартість устаткування після років?

Введемо позначення. Нехай – вартість устаткування в момент . Зміна вартості (знецінювання) виражається різницею . Швидкість знецінювання тоді буде похідною за часом, тобто , і вона пропорційна фактичній вартості в даний момент . Одержуємо рівняння

з початковою умовою

.

Розв’язавши таке рівняння, одержимо відповідь на питання даної задачі.

Розглянемо інший приклад. Нехай – кількість продукції, що випускається галуззю за час ; – ціна продукції. Сума інвестицій (засобів, спрямованих на розширення виробництва) пропорційна доходові з коефіцієнтом пропорційності (, ). Збільшення швидкості випуску продукції пропорційно збільшенню інвестицій з коефіцієнтом пропорційності . Потрібно знайти кількість продукції, що випускається галуззю за час , якщо в початковий момент часу .

Відповідно до умови задачу можна сформулювати наступним чином. Запишемо інвестиції в вигляді: . Тоді ,

або . Позначимо . Тоді рівняння набуде вигляду , розв’язавши його одержимо відповідь на питання задачі.

Нехай торговими установами реалізується продукція, про яку в момент часу з числа потенційних покупців знає лише покупців. Після проведення рекламних оголошень швидкість зміни числа знаючих про продукцію покупців пропорційна як числу знаючих про товар покупців, так і числу покупців, що про нього ще не знають. Відомо, що в початковий момент часу про товар довідалося осіб (час відраховується після рекламних оголошень); – задане число. Знайти закон зміни в залежності від часу числа покупців, що знають про продукцію.

Відповідно до умови, рівняння для визначення має вигляд , де – швидкість зміни числа знаючих про товар покупців; – число знаючих про товар; () – число не знаючих про товар у момент часу ; – додатній коефіцієнт пропорційності. Початкова умова: .

Будемо вивчати звичайні диференціальні рівняння, тобто такі, у яких шукана функція є функцією однієї змінної.

Означення 8.1. Звичайним диференціальним рівнянням -го порядку називається рівняння, що пов'язує незалежну змінну , шукану функцію і її похідні , ,..., :

. (8.1)

При цьому функція може явно не містити у собі , , , ,..., , але обов'язково повинна містити – .

Порядком диференціального рівняння будемо називати порядок найвищої похідної, що входить у нього.

Так, наприклад, рівняння , , є диференціальними рівняннями першого порядку, а рівняння є диференціальним рівнянням другого порядку.

Означення 8.2. Розв'язком диференціального рівняння називається усяка функція , що задовольняє його.

Наприклад, функція є розв'язком рівняння , тому що , і, підставляючи та у рівняння, одержуємо , що вірно для будь-якого .

Розв'язок диференціального рівняння називають інтегралом цього рівняння.

 

Диференціальні рівняння першого порядку

З подільними змінними.

 

Розглянемо рівняння вигляду

, (8.5)

яке називається рівнянням з розділеними змінними. Дане рівняння є рівністю двох диференціалів деяких функцій, з чого випливає, що функції або рівні, або розрізняються на довільну сталу. Розв'язок рівняння одержимо, проінтегрувавши рівність

.

Рівняння з подільними змінними має вигляд

. (8.6)

Розділимо змінні, тобто перетворимо рівняння так, щоб біля диференціала стояла множником функція аргументу , а біля диференціала відповідно функція аргументу . Для цього поділимо рівняння на добуток функцій, що стоять біля “чужих” диференціалів , одержимо рівняння з розділеними змінними

.

Проінтегрувавши, прийдемо до розв'язку у вигляді

.

Рівняння є рівнянням з подільними змінними, тільки якщо , тоді замінивши на і, помноживши рівняння на , одержимо рівняння з розділеними змінними:

, , , , .

Рівнянням такого типу є рівняння . Знайдемо його загальний розв'язок, розділяючи змінні. Будемо мати

, , .

Запишемо довільну сталу у вигляді , що не змінить її змісту, тоді

.

Звідки – загальний розв'язок рівняння.

Розв’яжемо диференціальне рівняння

де шукана функція визначає чисельність населення. Нехай .

Розділимо змінні, одержимо . Проінтегрувавши, знайдемо, що , і, остаточно, – загальний розв'язок диференціального рівняння.

Обчислимо значення довільної сталої, виходячи з початкових умов.

Отже формула для визначення чисельності населення має такий вигляд:

де – численність населення в початковий момент часу; – коефіцієнт природного приросту; – число років.

Наприклад, якщо в деякий державі чисельність населення на даний момент часу 100 млн осіб, коефіцієнт природного приросту , то через 5 років чисельність населення цієї держави буде дорівнювати: млн осіб.

Приклад 8.1. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння , що задовольняє початковій умові .

Розв’язання. Дане рівняння є рівнянням з подільними змінними. Поділимо ліву і праву частину рівності на , одержимо:

, , , або . Звідки – інтеграл диференціального рівняння. Графіком інтеграла даного диференціального рівняння є сім’я кіл з центром у точці на вісі абсцис і радіусом . Надаючи різні значення, одержимо різні інтегральні криві сім’ї. Щоб знайти частинний розв'язок рівняння, підставимо значення у загальний розв'язок і обчислимо відповідне значення : Звідки , або . Отже, частинним розв'язком рівняння є функція .

 

Рівняння Бернуллі.

 

Рівняння Бернуллі має вигляд

. (8.11)

Як бачимо, рівняння відрізняється від лінійного тільки множником у правій частині рівняння. Покажемо, що це рівняння приводиться до лінійного. Поділимо рівняння на

і замінимо , тоді .

Оскільки , то рівняння набуває вигляду

,

тобто одержали лінійне рівняння відносно функції .

На практиці рівняння Бернуллі може розв’язуватися тим же способом, що і лінійне, без попереднього зведення його до лінійного рівняння.

Приклад 8.5. Знайти загальний розв'язок рівняння

.

Розв’язання. Очевидно, що дане рівняння є рівнянням Бернуллі . Знайдемо розв'язок у вигляді .

Підберемо і так, щоб їх добуток задовольняв рівняння. Підставимо в рівняння , , одержимо

, .

Складемо систему рівнянь:

Розв’язуючи перше рівняння системи, знайдемо . Підставляючи знайдену функцію в друге рівняння системи, одержуємо чи . Звідки , . Загальний розв'язок рівняння: .

 

Зі сталими коефіцієнтами.

 

Система двох лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами має вигляд

(8.42)

Розв'язки цієї системи мають такі властивості.

1. Якщо , – розв'язки системи (8.42), то , – де – будь-яке число, також є розв'язками системи.

2. Якщо , і , – розв'язки системи (8.42), то функції , також будуть розв'язками системи.

З властивостей 1 і 2 випливає, що для будь-яких чисел , лінійна комбінація розв'язків , також є розв'язком системи.

Будемо шукати ненульові розв'язки системи (8.42) у вигляді

, , (8.43)

де , , – деякі невідомі поки числа, які треба підбирати так, щоб функції (8.43) задовольняли систему (8.42).

Підставляючи функції (8.43) та їх похідні в рівняння системи (8.42) після скорочення на і перенесення всіх членів в одну частину рівності, одержуємо

(8.44)

Для того, щоб ця система рівнянь мала ненульовий розв'язок, необхідно і достатньо, щоб визначник системи дорівнював нулю. Таким чином число k повинно задовольняти рівняння

(8.45)

Рівняння (8.45) називається характеристичним рівнянням системи (8.42). Це рівняння другого степеня відносно . Воно має два корені і . Кожному з цих коренів відповідає ненульовий розв'язок системи (8.44).

Позначимо ці розв'язки відповідно , , , . Тоді ненульові розв'язки даної системи диференціальних рівнянь (8.42) матимуть вигляд: , , , .

Лінійна комбінація цих розв'язків з довільними коефіцієнтами

(8.46)

також буде розв'язком системи (8.42). Якщо корені характеристичного рівняння (8.45) різні, то можна показати, що цей розв'язок буде загальним розв'язком системи (8.42). У випадку, якщо корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені: , то знайдені зазначеним вище методом комплексні розв'язки можна замінити дійсними розв'язками, відокремлюючи дійсні і уявні частини їх складовими функціями.

У випадку кратних коренів характеристичного рівняння відшукання загального розв'язку системи (8.42) значно складніше.

Приклад 8.17. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання. Характеристичне рівняння матриці системи має вигляд . Звідки .

Після перетворень одержуємо два різних дійсних корені рівняння , . Отже, загальний розв'язок заданої системи рівнянь має вигляд (8.46):

При система (8.44) для визначення чисел і перетвориться в систему:

Очевидно, що система має незліченну множину розв'язків, яку можна виразити залежністю . Приймаючи для конкретності , одержуємо . При система (8.44) для визначення чисел і набуває вигляду

Аналогічно попередня система має незліченну множину розв'язків, яку можна виразити залежністю , Приймаючи , одержимо .

Отже, загальний розв'язок заданої системи рівнянь:

 

Задачі економічної динаміки

Диференціальні рівняння знаходять достатньо широке застосування в моделях економічної динаміки, в яких відображується не тільки залежність змінних від часу, але й їх взаємозв’язок у часі.

Розглянемо деякі (прості) задачі макроекономічної динаміки.

Нехай – обсяг продукції деякої галуззі, яка реалізована на момент часу . Будемо вважати, що вся вироблена галуззю продукція реалізується за деякою фіксованою ціною , тобто виконана умова ненасиченості ринку. Тоді доход на момент часу становить .

Позначимо через розмір інвестицій, що направляються на розширення виробництва. В моделі природного росту вважають, що швидкість випуску продукції (акселерація) пропорційна величині інвестицій, тобто

. (8.47)

Тут знехтуємо часом між закінченням виробництва продукції та її реалізацією, тобто вважаємо, що інвестиційний лаг дорівнює нулю.

Вважаючи, що розмір інвестицій становить фіксовану частину доходу, отримуємо:

, (8.48)

де коефіцієнт пропорційності (так звана норма інвестицій) – стала величина, .

Підставляючи останній вираз (8.48) для в (8.47), приходимо до рівняння

, (8.49)

де .

Отримано диференціальне рівняння – з подільними змінними. Розв’язуючи його, приходимо до функції , де .

Зазначимо, що рівняння (8.49) описує також зростання народонаселення (демографічний процес), динаміку росту цін при сталій інфляції, процес радіоактивного розпаду та ін.

На практиці умова насиченості ринку може бути прийнятною тільки для достатньо вузького часового інтервалу. В загальному випадку крива попиту, тобто залежність ціни реалізованої продукції від її обсягу є спадною функцією (зі збільшенням обсягу виробленої продукції її ціна падає внаслідок насиченості ринку). Тому модель зростання за умов конкурентного ринку приймає такий вигляд:

, (8.50)

залишаючись як і раніше рівнянням з подільними змінними.

Оскільки всі співмножники у правій частині рівняння додатні, то , і це рівняння описує зростаючу функцію . При дослідженні функції на опуклість природно використовувати поняття еластичності функції. Дійсно, з (8.50) випливає, що

.

Нагадаємо, що еластичність попиту (відносно ціни) визначається формулою . Тоді вираз для можна записати у вигляді

і умова рівносильна рівності .

Таким чином, якщо попит еластичний, тобто або , то і функція увігнута; у випадку, якщо попит не еластичний, тобто , або , то і функція опукла вверх.

Приклад 8.18. Знайти вираз для обсягу реалізованої продукції , якщо відомо, що крива попиту задається рівнянням , норма акселерації , норма інвестицій , .

Розв’язання. Рівняння (8.50) в цьому випадку приймає такий вигляд: або Виконуючи інтегрування, одержуємо , або , де .

Враховуючи, що , отримуємо . Виражаючи з останнього рівняння, остаточно маємо .

Графік даної функції схематично зображений на рис. 8.2. У даному випадку еластичність попиту задається функцією і умова , що визначає розташування точки перегину на кривій, дає .

 

Рис. 8.2.

Крива, зображена на рис. 8.4, називається логістичною. Подібні криві описують процес розповсюдження інформації (реклами), динаміку епідемій, процес розмноження бактерій в обмеженому середовищі та ін.

Розглянемо тепер іншу задачу. Прибуток , отриманий на момент часу деякою галуззю, є сумою інвестицій і величини споживання :

. (8.51)

Як і раніше в моделі природного росту, будемо вважати, що швидкість збільшення прибутку пропорційна розміру інвестицій, тобто справедлива рівність

, 8.52)

де – коефіцієнт капіталоємності приросту прибутку (що рівносильне (8.47) при сталій ціні на продукцію ).

Розглянемо поведінку функції прибутку залежно від функції .

Нехай – є фіксована частина отриманого прибутку: , де – норма інвестицій. Тоді із (8.51) і (8.52) одержимо

, (8.53)

що рівносильне рівнянню (8.49) при .

В ряді випадків тип функції споживання буває відомим з деяких додаткових міркувань.

Приклад 8.19. Знайти функцію прибутку , якщо відомо, що розмір споживання задається функцією , коефіцієнт капіталоємності приросту прибутку .

Розв’язання. Із співвідношень (8.51) і (8.52) маємо рівняння

,

тобто функція прибутку задовольняє лінійне неоднорідне рівняння першого порядку. Будемо шукати розв’язок у вигляді .

Тоді маємо , . Значення сталої знаходимо з початкових умов, оскільки , то . Остаточно маємо .

Розглянемо економічну модель Е.Д. Домара. Основні припущення цієї моделі такі:

1. Будь-яка зміна швидкості грошового потоку впливає як на сукупний попит, так і на зміну обсягу виробництва.

2. Швидкість зміни попиту пропорційна похідній швидкості грошового потоку з коефіцієнтом пропорційності , де – граничне накопичення. Це припущення можна записати у вигляді рівняння

. (8.54)

3. Економічний потенціал (тобто вартість товарів, які можна виробити) пропорційний обсягу оборотних засобів з коефіцієнтом пропорційності , тобто . Диференціюючи по , одержуємо

. (8.55)

В моделі Домара передбачається, що весь економічний потенціал повністю використовується, тобто . Диференціюючи по , одержуємо

. (8.56)

Підставляючи (8.54) та (8.55) в (8.56), маємо

або . (8.57)

Щоб знайти функцію з рівняння (8.57), проінтегруємо обидві частини останньої рівності, одержимо

, або , звідки .

Потенціюючи останню рівність, одержуємо остаточний вираз для :

, (8.58)

де – це швидкість грошового потоку в початковий момент часу.

Таким чином, для того, щоб підтримувати рівновагу між обсягом вироблених благ та сукупним попитом на них, швидкість грошового потоку повинна зростати з експоненціальною швидкістю, згідно з формулою (8.58).

Модель Домара – це типовий приклад моделі зростання, що записується у вигляді одного або декількох диференціальних рівнянь.

 

Вправи

8.1. Показати, що функція є розв'язком диференціального рівняння .

8.2–8.24. Знайти загальний розв'язок диференціальних рівнянь першого порядку.

8.2. . 8.3. .

8.4. . 8.5. .

8.6. . 8.7. .

8.8. .

8.9. . 8.10. .

8.11. . 8.12. .

8.13. . 8.14. .

8.15. . 8.16. .

8.17. . 8.18. .

8.19. . 8.20. .

8.21. . 8.22. .

8.23. . 8.24. .

8.25–8.27. Знайти частинні розв'язки диференціальних рівнянь першого порядку, що задовольняють заданим початковим умовам.

8.25. , .

8.26. , .

8.27. , .

8.28–8.32. Знайти загальні розв'язки диференціальних рівнянь другого порядку, що допускають зниження порядку.

8.28. .

8.29. .

8.30. .

8.31. .

8.32. .

8.33–8.34. Знайти частинні розв'язки диференціальних рівнянь другого порядку, які допускають зниження порядку та задовольняють заданим початковим умовам.

8.33. , , .

8.34. , , .

8.35–8.44. Знайти загальні розв'язки лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку.

8.35. . 8.36. .

8.37. . 8.38. .

8.39. . 8.40. .

8.41.. . 8.42. .

8.43. . 8.44. .

8.45–8.53. Знайти загальні розв'язки лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.

8.45. . 8.46. .

8.47. . 8.48. .

8.49. . 8.50. .

8.51. . 8.52. .

8.53. .

8.54–8.61. Знайти загальні розв'язки лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь методом варіації довільних сталих.

8.54. . 8.55. .

8.56. . 8.57. .

8.58. . 8.59. .

8.60. . 8.61. .

8.62–8.64. Знайти частинні розв'язки лінійних диференціальних рівнянь другого порядку, що задовольняють заданим початковим умовам.

8.62. , , .

8.63. , , .

8.64. , , .

8.65–8.72. Розв’язати системи диференціальних рівнянь.