Диференціальні рівняння першого порядку

Згідно з означенням 8.1 диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

. (8.2)

Якщо співвідношення (8.2) розв’язати відносно , то одержимо рівняння вигляду

, (8.3)

яке називається диференціальним рівнянням першого порядку, розв’язаним відносно похідної. Таке рівняння завжди можна записати в диференціальній формі

. (8.4)

Дійсно, якщо , то , а це означає, що .

Навпаки, якщо диференціальне рівняння записане у формі (8.4), і якщо , то його завжди можна розв’язати щодо похідної:

,

тобто записати у вигляді .

Диференціальне рівняння першого порядку має, взагалі, не один, а незліченну множину розв'язків.

Так, для рівняння розв'язками є функції , , і, взагалі, , де – довільна стала. У цьому легко переконатися, підставивши потрібне значення і значення похідної в диференціальне рівняння.

Розв'язок диференціального рівняння , що містить у собі довільну сталу, будемо називати загальним розв'язком диференціального рівняння. Загальний розв'язок, не розв’язаний щодо шуканої функції , називають загальним інтегралом диференціального рівняння. Розв'язок, отриманий із загального при конкретному значенні довільної сталої будемо називати частинним розв'язком. Так, для диференціального рівняння розв'язок є загальним, а розв'язки , , – частинними розв'язками.

Графіком частинного розв'язку диференціального рівняння є інтегральна крива, графіком загального розв'язку – сім’я інтегральних кривих.

На рис. 8.1 зображена сім’я інтегральних кривих диференціального рівняння .

Рис. 8.1.

Для того, щоб із загального розв'язку виділити визначений частинний розв'язок, приходиться задавати значення шуканої функції при деякому значенні аргументу . Пари чисел , називають початковими умовами. Геометрично задання початкових умов рівнозначно заданню точки – “початкової точки” на площині . Будемо казати, що розв'язок рівняння задовольняє початковій умові , якщо , тобто, якщо графік проходить через точку .

Відшукання розв'язку диференціального рівняння , що задовольняє заданим початковим умовам, є однією з найважливіших задач теорії диференціальних рівнянь і називається задачею Коші. Відповідь на питання чи існує такий розв'язок і чи буде він єдиним дає така теорема.

Теорема Коші. Якщо функція неперервна в деякій області площини і має в області неперервну частинну похідну , то яка б не була точка цієї області, існує, і притому єдиний, розв'язок рівняння , який приймає при значення .

Геометрично це твердження означає, що через кожну внутрішню точку області проходить єдина інтегральна крива рівняння. Наприклад, для диференціального рівняння функція неперервна для всіх , її частинна похідна також неперервна для усіх .

Будемо розглядати, як правило, диференціальні рівняння, для яких умови теореми Коші виконуються.

Не існує загального методу розв'язання диференціальних рівнянь першого порядку. Розглянемо лише деякі типи рівнянь, для кожного з яких існує свій метод розв'язання.

 

Диференціальні рівняння першого порядку

З подільними змінними.

 

Розглянемо рівняння вигляду

, (8.5)

яке називається рівнянням з розділеними змінними. Дане рівняння є рівністю двох диференціалів деяких функцій, з чого випливає, що функції або рівні, або розрізняються на довільну сталу. Розв'язок рівняння одержимо, проінтегрувавши рівність

.

Рівняння з подільними змінними має вигляд

. (8.6)

Розділимо змінні, тобто перетворимо рівняння так, щоб біля диференціала стояла множником функція аргументу , а біля диференціала відповідно функція аргументу . Для цього поділимо рівняння на добуток функцій, що стоять біля “чужих” диференціалів , одержимо рівняння з розділеними змінними

.

Проінтегрувавши, прийдемо до розв'язку у вигляді

.

Рівняння є рівнянням з подільними змінними, тільки якщо , тоді замінивши на і, помноживши рівняння на , одержимо рівняння з розділеними змінними:

, , , , .

Рівнянням такого типу є рівняння . Знайдемо його загальний розв'язок, розділяючи змінні. Будемо мати

, , .

Запишемо довільну сталу у вигляді , що не змінить її змісту, тоді

.

Звідки – загальний розв'язок рівняння.

Розв’яжемо диференціальне рівняння

де шукана функція визначає чисельність населення. Нехай .

Розділимо змінні, одержимо . Проінтегрувавши, знайдемо, що , і, остаточно, – загальний розв'язок диференціального рівняння.

Обчислимо значення довільної сталої, виходячи з початкових умов.

Отже формула для визначення чисельності населення має такий вигляд:

де – численність населення в початковий момент часу; – коефіцієнт природного приросту; – число років.

Наприклад, якщо в деякий державі чисельність населення на даний момент часу 100 млн осіб, коефіцієнт природного приросту , то через 5 років чисельність населення цієї держави буде дорівнювати: млн осіб.

Приклад 8.1. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння , що задовольняє початковій умові .

Розв’язання. Дане рівняння є рівнянням з подільними змінними. Поділимо ліву і праву частину рівності на , одержимо:

, , , або . Звідки – інтеграл диференціального рівняння. Графіком інтеграла даного диференціального рівняння є сім’я кіл з центром у точці на вісі абсцис і радіусом . Надаючи різні значення, одержимо різні інтегральні криві сім’ї. Щоб знайти частинний розв'язок рівняння, підставимо значення у загальний розв'язок і обчислимо відповідне значення : Звідки , або . Отже, частинним розв'язком рівняння є функція .