Системи диференціальних рівнянь

Системою двох диференціальних рівнянь першого порядку називається сукупність співвідношень

(8.40)

де – незалежна змінна, а , – шукані функції.

Розв'язком системи (8.40) називається всяка пара функцій , , підстановка яких у рівняння (8.40) перетворює систему у правильні рівності.

Система диференціальних рівнянь першого порядку, розв’язаних відносно похідних від невідомих функцій, називається нормальною системою диференціальних рівнянь.

Загальний вигляд нормальної системи двох диференціальних рівнянь із двома невідомими функціями і такий:

(8.41)

Від системи двох диференціальних рівнянь завжди можна перейти до одного рівняння з однією невідомою функцією, наприклад . Для цього потрібно кожне рівняння системи продиференціювати та з отриманих чотирьох рівностей, враховуючи на (8.41), виключити величини , . Після інтегрування одержуємо загальний розв'язок , з якого знаходиться на основі згаданих вище рівностей.

Приклад 8.16. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання. Продиференціюємо перше рівняння за :

.

Замінивши його значенням із другого рівняння системи, одержимо .

Підставляючи замість з першого рівняння системи , маємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку .

Знайдемо його розв'язок згідно з . Однорідне рівняння, що відповідає даному, має вигляд . Його характеристичне рівняння має корені , . Загальний розв'язок однорідного рівняння буде . Функція правої частини рівняння (неповний многочлен першого порядку). Для неї число (немає ні показникової, ні тригонометричних функцій) зустрічається серед коренів характеристичного рівняння один раз, тому частинний розв'язок рівняння знайдемо у вигляді

.

Обчислимо похідні , :

; .

Підставляючи , , у диференціальне рівняння, одержуємо . Прирівнявши коефіцієнти при і вільні члени лівої і правої частин рівності, знайдемо, що , , , .

Підставляючи знайдене значення та його похідну в перше рівняння системи, знаходимо

або .

Сім’я розв'язків даної системи рівнянь дається функціями

, .

 

Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь

Зі сталими коефіцієнтами.

 

Система двох лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами має вигляд

(8.42)

Розв'язки цієї системи мають такі властивості.

1. Якщо , – розв'язки системи (8.42), то , – де – будь-яке число, також є розв'язками системи.

2. Якщо , і , – розв'язки системи (8.42), то функції , також будуть розв'язками системи.

З властивостей 1 і 2 випливає, що для будь-яких чисел , лінійна комбінація розв'язків , також є розв'язком системи.

Будемо шукати ненульові розв'язки системи (8.42) у вигляді

, , (8.43)

де , , – деякі невідомі поки числа, які треба підбирати так, щоб функції (8.43) задовольняли систему (8.42).

Підставляючи функції (8.43) та їх похідні в рівняння системи (8.42) після скорочення на і перенесення всіх членів в одну частину рівності, одержуємо

(8.44)

Для того, щоб ця система рівнянь мала ненульовий розв'язок, необхідно і достатньо, щоб визначник системи дорівнював нулю. Таким чином число k повинно задовольняти рівняння

(8.45)

Рівняння (8.45) називається характеристичним рівнянням системи (8.42). Це рівняння другого степеня відносно . Воно має два корені і . Кожному з цих коренів відповідає ненульовий розв'язок системи (8.44).

Позначимо ці розв'язки відповідно , , , . Тоді ненульові розв'язки даної системи диференціальних рівнянь (8.42) матимуть вигляд: , , , .

Лінійна комбінація цих розв'язків з довільними коефіцієнтами

(8.46)

також буде розв'язком системи (8.42). Якщо корені характеристичного рівняння (8.45) різні, то можна показати, що цей розв'язок буде загальним розв'язком системи (8.42). У випадку, якщо корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені: , то знайдені зазначеним вище методом комплексні розв'язки можна замінити дійсними розв'язками, відокремлюючи дійсні і уявні частини їх складовими функціями.

У випадку кратних коренів характеристичного рівняння відшукання загального розв'язку системи (8.42) значно складніше.

Приклад 8.17. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання. Характеристичне рівняння матриці системи має вигляд . Звідки .

Після перетворень одержуємо два різних дійсних корені рівняння , . Отже, загальний розв'язок заданої системи рівнянь має вигляд (8.46):

При система (8.44) для визначення чисел і перетвориться в систему:

Очевидно, що система має незліченну множину розв'язків, яку можна виразити залежністю . Приймаючи для конкретності , одержуємо . При система (8.44) для визначення чисел і набуває вигляду

Аналогічно попередня система має незліченну множину розв'язків, яку можна виразити залежністю , Приймаючи , одержимо .

Отже, загальний розв'язок заданої системи рівнянь:

 

Задачі економічної динаміки

Диференціальні рівняння знаходять достатньо широке застосування в моделях економічної динаміки, в яких відображується не тільки залежність змінних від часу, але й їх взаємозв’язок у часі.

Розглянемо деякі (прості) задачі макроекономічної динаміки.

Нехай – обсяг продукції деякої галуззі, яка реалізована на момент часу . Будемо вважати, що вся вироблена галуззю продукція реалізується за деякою фіксованою ціною , тобто виконана умова ненасиченості ринку. Тоді доход на момент часу становить .

Позначимо через розмір інвестицій, що направляються на розширення виробництва. В моделі природного росту вважають, що швидкість випуску продукції (акселерація) пропорційна величині інвестицій, тобто

. (8.47)

Тут знехтуємо часом між закінченням виробництва продукції та її реалізацією, тобто вважаємо, що інвестиційний лаг дорівнює нулю.

Вважаючи, що розмір інвестицій становить фіксовану частину доходу, отримуємо:

, (8.48)

де коефіцієнт пропорційності (так звана норма інвестицій) – стала величина, .

Підставляючи останній вираз (8.48) для в (8.47), приходимо до рівняння

, (8.49)

де .

Отримано диференціальне рівняння – з подільними змінними. Розв’язуючи його, приходимо до функції , де .

Зазначимо, що рівняння (8.49) описує також зростання народонаселення (демографічний процес), динаміку росту цін при сталій інфляції, процес радіоактивного розпаду та ін.

На практиці умова насиченості ринку може бути прийнятною тільки для достатньо вузького часового інтервалу. В загальному випадку крива попиту, тобто залежність ціни реалізованої продукції від її обсягу є спадною функцією (зі збільшенням обсягу виробленої продукції її ціна падає внаслідок насиченості ринку). Тому модель зростання за умов конкурентного ринку приймає такий вигляд:

, (8.50)

залишаючись як і раніше рівнянням з подільними змінними.

Оскільки всі співмножники у правій частині рівняння додатні, то , і це рівняння описує зростаючу функцію . При дослідженні функції на опуклість природно використовувати поняття еластичності функції. Дійсно, з (8.50) випливає, що

.

Нагадаємо, що еластичність попиту (відносно ціни) визначається формулою . Тоді вираз для можна записати у вигляді

і умова рівносильна рівності .

Таким чином, якщо попит еластичний, тобто або , то і функція увігнута; у випадку, якщо попит не еластичний, тобто , або , то і функція опукла вверх.

Приклад 8.18. Знайти вираз для обсягу реалізованої продукції , якщо відомо, що крива попиту задається рівнянням , норма акселерації , норма інвестицій , .

Розв’язання. Рівняння (8.50) в цьому випадку приймає такий вигляд: або Виконуючи інтегрування, одержуємо , або , де .

Враховуючи, що , отримуємо . Виражаючи з останнього рівняння, остаточно маємо .

Графік даної функції схематично зображений на рис. 8.2. У даному випадку еластичність попиту задається функцією і умова , що визначає розташування точки перегину на кривій, дає .

 

Рис. 8.2.

Крива, зображена на рис. 8.4, називається логістичною. Подібні криві описують процес розповсюдження інформації (реклами), динаміку епідемій, процес розмноження бактерій в обмеженому середовищі та ін.

Розглянемо тепер іншу задачу. Прибуток , отриманий на момент часу деякою галуззю, є сумою інвестицій і величини споживання :

. (8.51)

Як і раніше в моделі природного росту, будемо вважати, що швидкість збільшення прибутку пропорційна розміру інвестицій, тобто справедлива рівність

, 8.52)

де – коефіцієнт капіталоємності приросту прибутку (що рівносильне (8.47) при сталій ціні на продукцію ).

Розглянемо поведінку функції прибутку залежно від функції .

Нехай – є фіксована частина отриманого прибутку: , де – норма інвестицій. Тоді із (8.51) і (8.52) одержимо

, (8.53)

що рівносильне рівнянню (8.49) при .

В ряді випадків тип функції споживання буває відомим з деяких додаткових міркувань.

Приклад 8.19. Знайти функцію прибутку , якщо відомо, що розмір споживання задається функцією , коефіцієнт капіталоємності приросту прибутку .

Розв’язання. Із співвідношень (8.51) і (8.52) маємо рівняння

,

тобто функція прибутку задовольняє лінійне неоднорідне рівняння першого порядку. Будемо шукати розв’язок у вигляді .

Тоді маємо , . Значення сталої знаходимо з початкових умов, оскільки , то . Остаточно маємо .

Розглянемо економічну модель Е.Д. Домара. Основні припущення цієї моделі такі:

1. Будь-яка зміна швидкості грошового потоку впливає як на сукупний попит, так і на зміну обсягу виробництва.

2. Швидкість зміни попиту пропорційна похідній швидкості грошового потоку з коефіцієнтом пропорційності , де – граничне накопичення. Це припущення можна записати у вигляді рівняння

. (8.54)

3. Економічний потенціал (тобто вартість товарів, які можна виробити) пропорційний обсягу оборотних засобів з коефіцієнтом пропорційності , тобто . Диференціюючи по , одержуємо

. (8.55)

В моделі Домара передбачається, що весь економічний потенціал повністю використовується, тобто . Диференціюючи по , одержуємо

. (8.56)

Підставляючи (8.54) та (8.55) в (8.56), маємо

або . (8.57)

Щоб знайти функцію з рівняння (8.57), проінтегруємо обидві частини останньої рівності, одержимо

, або , звідки .

Потенціюючи останню рівність, одержуємо остаточний вираз для :

, (8.58)

де – це швидкість грошового потоку в початковий момент часу.

Таким чином, для того, щоб підтримувати рівновагу між обсягом вироблених благ та сукупним попитом на них, швидкість грошового потоку повинна зростати з експоненціальною швидкістю, згідно з формулою (8.58).

Модель Домара – це типовий приклад моделі зростання, що записується у вигляді одного або декількох диференціальних рівнянь.

 

Вправи

8.1. Показати, що функція є розв'язком диференціального рівняння .

8.2–8.24. Знайти загальний розв'язок диференціальних рівнянь першого порядку.

8.2. . 8.3. .

8.4. . 8.5. .

8.6. . 8.7. .

8.8. .

8.9. . 8.10. .

8.11. . 8.12. .

8.13. . 8.14. .

8.15. . 8.16. .

8.17. . 8.18. .

8.19. . 8.20. .

8.21. . 8.22. .

8.23. . 8.24. .

8.25–8.27. Знайти частинні розв'язки диференціальних рівнянь першого порядку, що задовольняють заданим початковим умовам.

8.25. , .

8.26. , .

8.27. , .

8.28–8.32. Знайти загальні розв'язки диференціальних рівнянь другого порядку, що допускають зниження порядку.

8.28. .

8.29. .

8.30. .

8.31. .

8.32. .

8.33–8.34. Знайти частинні розв'язки диференціальних рівнянь другого порядку, які допускають зниження порядку та задовольняють заданим початковим умовам.

8.33. , , .

8.34. , , .

8.35–8.44. Знайти загальні розв'язки лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку.

8.35. . 8.36. .

8.37. . 8.38. .

8.39. . 8.40. .

8.41.. . 8.42. .

8.43. . 8.44. .

8.45–8.53. Знайти загальні розв'язки лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.

8.45. . 8.46. .

8.47. . 8.48. .

8.49. . 8.50. .

8.51. . 8.52. .

8.53. .

8.54–8.61. Знайти загальні розв'язки лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь методом варіації довільних сталих.

8.54. . 8.55. .

8.56. . 8.57. .

8.58. . 8.59. .

8.60. . 8.61. .

8.62–8.64. Знайти частинні розв'язки лінійних диференціальних рівнянь другого порядку, що задовольняють заданим початковим умовам.

8.62. , , .

8.63. , , .

8.64. , , .

8.65–8.72. Розв’язати системи диференціальних рівнянь.

8.65. 8.66.

8.67. 8.68.

8.69. 8.70.

8.71. 8.72.

8.73. Нехай попит та пропозиція на товар визначаються відповідно співвідношеннями , , де – ціна товару; – тенденція формування ціни (похідна ціни за часом). Нехай також в початковий момент часу ціна за одиницю товару складала 1 грош. од. Виходячи з потреб відповідності попиту пропозиції, знайти закон зміни ціни в залежності від часу.

8.74. Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями . Нехай також в початковий момент часу , . Виходячи з потреб відповідності попиту пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

8.75. Через який проміжок часу відбудеться подвоєння сукупного суспільного продукту , якщо його залежність від часу задає рівняння , де , , .

8.76. Проінтегрувати диференціальне рівняння розширеного виробництва , вважаючи, що , , – сталі.

8.77. Нехай еластичність виробничої функції відносно змінної характеризується співвідношенням . Визначити саму функцію, якщо її графік проходить через точку .

8.78. Нехай еластичність виробничої функції відносно змінної характеризується співвідношеннями:

а) , ;

б) ;

в) .

Знайти цю функцію.

8.79. Знайти вираз обсягу реалізованої продукції та її значення при , якщо відомо, що крива попиту має вигляд , норма акселерації , норма інвестицій , .

Відповіді до вправ

Розділ 1

1. , , , , , , . 4. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 5. а) , ; б) , ; в) , . 7. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 8. а) 1, 0; б) 6, ; в) , ; г) 1, 0.

 

Розділ 2