Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.

 

Будемо називати функцію однорідною -го порядку, якщо для неї справедлива тотожність

.

Наприклад, функція є однорідною другого порядку, тому що .

Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо функція є однорідною нульового порядку.

Можна показати, що однорідна функція нульового порядку може бути зведена до функції вигляду .

Наприклад, ,

У такому випадку диференціальне рівняння набуває вигляду

(8.7)

Підстановкою рівняння можна звести до рівняння з подільними змінними. Дійсно, замість заданого рівняння (8.7) після підстановки одержимо рівняння або

Оскільки , то розділяємо змінні, і, інтегруючи, прийдемо до розв'язку .

Замінюючи в цьому розв'язку допоміжну функцію на приходимо до відповіді.

Приклад 8.2. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння

.

Розв’язання. Функція правої частини рівняння є однорідною нульового порядку, тому що

.

Розв’яжемо рівняння , ввівши заміну , Після підстановки в рівняння нової змінної, одержимо або – диференціальне рівняння з подільними змінними, де – шукана функція.

Після розділу змінних прийдемо до виразу .

Оскільки то одержимо розв'язок у вигляді чи .

Оскільки , остаточний розв'язок приймає вигляд або .

Диференціальне рівняння вигляду

(8.8)

буде однорідним, якщо і однорідні функції одного порядку.

Дійсно, розв’язуючи рівняння (8.8) відносно , одержимо

,

де – однорідна функція нульового порядку.

Приклад 8.3. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння , якщо .

Розв’язання. У даному рівнянні однорідні функції другого порядку. Розділимо рівняння на і розв'яжемо його відносно , одержимо

.

Замінимо , отримаємо або .

Після поділу змінних прийдемо до рівняння . Звідки або .

Замінюючи , одержимо або – загальний інтеграл рівняння. Підставимо в загальний розв'язок початкові умови і знайдемо значення . Отже, частинний розв'язок заданого рівняння, що задовольняє початковій умові, має вигляд .

 

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

 

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

(8.9)

де – відомі функції аргументу , – невідома функція.

Рівняння називається лінійним тому, що і входять у нього лінійно, тобто в першій степені.

Метод розв'язання такого рівняння запропонував Бернуллі. Метод полягає в наступному: знайдемо розв'язок рівняння у вигляді добутку двох функцій і . Підберемо функції і так, щоб їх добуток задовольняв рівняння. Підставивши в рівняння , , одержимо

.

Одну з функцій підберемо так, щоб .

Помітимо, що , інакше функція . Тому і . Одержали систему двох рівнянь з подільними змінними:

(8.10)

Розв’яжемо перше рівняння системи. Оскільки , то рівняння набуває вигляду або після поділу змінних

.

Звідки , .

Підставимо знайдену функцію у друге рівняння системи (8.10) і розв’яжемо його відносно функції . Одержимо або Звідки .

Загальний розв'язок лінійного рівняння має вигляд

.

Може скластися враження, що лінійне рівняння розв’язується дуже громіздко. Однак це не так, і, в дійсності, немає ніякої потреби користатися виведеними громіздкими формулами. Важливо тільки запам'ятати загальний хід розв'язку лінійного рівняння.

Приклад 8.4. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння .

Розв’язання. Дане рівняння є лінійним, тому що в нього і входять у першій степені. Приведемо його до стандартного вигляду, розділивши на , одержимо

Будемо шукати розв'язок у вигляді . Підставимо в рівняння , і підберемо функції і так, щоб рівняння перетворювалося в правильну рівність:

, або .

Нехай . Тоді

Розв’яжемо систему

З першого рівняння знайдемо і Підставляючи в друге рівняння системи знайдену функцію , одержуємо або . Звідки Загальний розв'язок має вигляд

 

Рівняння Бернуллі.

 

Рівняння Бернуллі має вигляд

. (8.11)

Як бачимо, рівняння відрізняється від лінійного тільки множником у правій частині рівняння. Покажемо, що це рівняння приводиться до лінійного. Поділимо рівняння на

і замінимо , тоді .

Оскільки , то рівняння набуває вигляду

,

тобто одержали лінійне рівняння відносно функції .

На практиці рівняння Бернуллі може розв’язуватися тим же способом, що і лінійне, без попереднього зведення його до лінійного рівняння.

Приклад 8.5. Знайти загальний розв'язок рівняння

.

Розв’язання. Очевидно, що дане рівняння є рівнянням Бернуллі . Знайдемо розв'язок у вигляді .

Підберемо і так, щоб їх добуток задовольняв рівняння. Підставимо в рівняння , , одержимо

, .

Складемо систему рівнянь:

Розв’язуючи перше рівняння системи, знайдемо . Підставляючи знайдену функцію в друге рівняння системи, одержуємо чи . Звідки , . Загальний розв'язок рівняння: .