Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

. (8.34)

Відповідно до теореми (8.5) загальний розв'язок такого рівняння дорівнює сумі загального розв'язку відповідного йому однорідного рівняння і якого-небудь частинного розв'язку неоднорідного рівняння.

Оскільки відповідне однорідне рівняння завжди розв’язується, то нам залишається лише знайти який-небудь частинний розв'язок даного рівняння.

Для довільної функції це робиться за методом варіації довільних сталих і частинний розв'язок має вигляд (8.33).

Але для досить широкого класу функцій правої частини рівняння частинний розв'язок можна знайти простіше за методом невизначених коефіцієнтів.

Метод застосовується для функцій вигляду

,

де і – многочлени відповідно порядків і :

;

Дана функція містить у собі декілька більш простих частинних випадків.

Наприклад:

при функція приймає вигляд ;

при , – ;

при , – ;

при – ;

при , – .

Метод заснований на тому, що частинний розв'язок рівняння (8.34) має вигляд правої частини рівняння.

Теорема 8.6. Якщо число , складене за правою частиною рівняння ( – коефіцієнт показника показникової функції, – коефіцієнт аргументу тригонометричної функції) не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв'язок рівняння (8.34) має вигляд

, (8.35)

де – многочлени з невизначеними коефіцієнтами порядку .

Якщо ж число є коренем характеристичного рівняння один раз, то частинний розв'язок рівняння (8.34) запишеться так:

. (8.36)

Якщо ж число є коренем характеристичного рівняння два рази, то частинний розв'язок рівняння (8.34) має вигляд

. (8.37)

Доведемо цю теорему для випадку, коли . Для такої функції .

Нехай частинний розв'язок рівняння

(8.38)

має вигляд , де – многочлен з невизначеними коефіцієнтами порядку . Перевіримо, чи задовольняє така функція рівняння (8.38). Знайдемо , :

;

.

Підставимо в рівняння (8.38) і поділимо всі його члени на функцію , яка ні при яких значеннях аргументу x не перетворюється на нуль. Групуючи доданки за , , , одержимо

. (8.39)

Вираз (8.39) є рівністю двох многочленів.

Підібрати коефіцієнти многочлена так, щоб рівність була правильною можна лише у випадку, якщо порядки багаточленів рівні, тобто число , що свідчить про те, що не корінь характеристичного рівняння .

Якщо ж , а (число є не кратним коренем характеристичного рівняння), рівність (8.39) буде правильною, якщо підставити в рівняння (8.38) такий багаточлен, що після диференціювання перетворився б у багаточлен порядку , тобто .

Якщо ж , тобто (число є коренем характеристичного рівняння два рази), рівність (8.38) буде правильною, якщо підставити в рівняння (8.38) такий многочлен, що після диференціювання двічі перетворився б у многочлен порядку , тобто . Значення коефіцієнтів многочлена можна підібрати, порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях аргументу лівої і правої частини рівності (8.39).

Аналогічно можна довести справедливість теореми (8.6) для інших окремих випадків функції .

Приклад 8.14. Знайти загальний розв'язок рівняння

.

Розв’язання. Загальний розв'язок рівняння має вигляд , де – загальний розв'язок рівняння однорідного, відповідного даному, – частинний розв'язок даного рівняння.

Однорідне рівняння, що відповідає даному, має вигляд

.

Його характеристичне рівняння має корені , (дійсні і різні), тому загальний розв'язок однорідного рівняння .

Функція правої частини рівняння – добуток многочлена першого порядку на показникову функцію. Тоді

Підберемо коефіцієнти і так, щоб задовольняло рівняння. Обчислимо :

;

.

Підставимо в диференціальне рівняння, поділимо його члени на і спростимо, тоді одержимо:

.

Порівнюючи коефіцієнти при x і вільні члени лівої і правої частин рівняння, отримаємо систему:

Звідки

Отже, частинний розв'язок даного рівняння має вигляд , а його загальний розв'язок

Приклад 8.15. Знайти частинний розв'язок рівняння якщо .

Розв’язання. Однорідне рівняння, що відповідає заданому, має вигляд . Його характеристичне рівняння має корені , (дійсні і різні), тому Функція правої частини рівняння Для неї число . Серед коренів характеристичного рівняння числа немає, тому частинний розв'язок рівняння має вигляд правої частини: .

Підберемо коефіцієнти так, щоб функція задовольняла рівняння. Обчислимо похідні частинного розв'язку і підставимо їх у задане рівняння

; .

Тоді .

Прирівняємо коефіцієнти при однакових функціях у лівій та правій частині рівності:

Розв’язуючи систему цих рівнянь, знаходимо, що, . Частинний розв'язок рівняння має вигляд

.

Загальний розв'язок рівняння буде

.

Похідна загального розв'язку запишеться так

.

Підставимо в загальний розв'язок та його похідну початкові умови при , , .

Одержимо систему рівнянь

Звідки , .

Частинний розв'язок рівняння, що задовольняє зазначені початкові умови, має вигляд

.