Теоретичні відомості про диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

1. Лінійне однорідне диференціальне рівняння надалі (ЛОДР) другого порядку зі сталими коефіцієнтами має вигляд:

(1)

 

Функція є розв’язком даного рівняння , ,

де ; ; - сталі, причому . , підставивши значення , , в рівняння (1), одержимо:

|:

(2)

Дане рівняння називають характеристичним рівнянням ЛОДР.

2. Якщо характеристичне рівняння (2) має два дійсні розв’язки , то загальний розв’язок ЛОДР (1) буде:

(3)

3. Якщо характеристичне рівняння (2) має один дійсний корінь k (в такому випадку кажуть, що воно має два дійсні корені, рівні між собою), то загальний розв’язок цього ЛОДР буде:

.

4. Якщо характеристичне рівняння (2) не має дійсних коренів, то воно має два спряжені комплексні корені , , де а, b – дійсні числа, і – уявна одиниця (і ). Тоді загальним розв’язком ЛОДР (1) буде:

 

Задача 1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

 

Задача 2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

 

Задача3. Дано диференціальне рівняння . Знайти:

а) загальний розв’язок рівняння;

б) частковий розв’язок, що задовольняє початкові умови: y(0)=0 та .

Питання для самоконтролю знань, умінь

1. Загальний вигляд лінійного диференціального рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами.

2. Зміст характеристичного рівняння.

3. Випадки загального розв’язку диференціального рівняння з сталими коефіцієнтами в залежності від значення

4. Задача Коші для диференціальних рівнянь другого порядку з сталими коефіцієнтами.

 

Висновок.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Перевірив викладач ___________ Оцінка ___________ Дата___________