Теоретичні відомості про найбільшеі найменше значення функції на проміжку

Найбільше і найменше значення монотонної функції на відрізку знаходиться на кінцях відрізка. Якщо ж задана функція не являється монотонною на відрізку , але відомо, що вона неперервна, то для знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку необхідно:

1. Зайти критичні точки функції.

2. Знайти значення функції в критичних точках, які належать відрізку, і на кінцях відрізку. Найбільше і найменше значення з цих чисел і будуть відповідно найбільшим і найменшим значення функції на відрізку.

 

Задача № 1. Знайти найбільше і найменше значення функції:

Теоретичні відомості про екстремум функції

 

 

Теорема (друге правило). Якщо в точці похідна функції дорівнює нулю, а її друга похідна неперервна в околі цієї точки і , то функція має максимум в точці , коли і мінімум, коли .

Задача №2. Знайти максимум і мінімум функції

 

Задача №3. Знайти довжини сторін прямокутника з периметром 72 см, що має найбільшу площу.

 

Теоретичні відомості про застосування похідної

1. Фізичний зміст похідної. При прямолінійному русі точки швидкість в даний момент дорівнює похідній від шляху по часу , обчисленій при : .

Прискорення в даний момент дорівнює похідній від швидкості по часу , обчисленій при : .

2. Геометричний зміст похідної. Похідна дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до кривої, проведеної у точці . Рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою має вигляд: .

Задача №4. Знайти швидкість і прискорення точки, що рухається за законом в момент часу .

Задача №5. Скласти рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою .

 

Питання для самоконтролю знань, умінь

1. Які точки називаються критичними?

2. Правило знаходження найбільшого та найменшого значення функції.

3. Які точки називаються точками максимуму і точками мінімуму?

4. Перше правило відшукання екстремуму функції.

5. Друге правило відшукання екстремуму функції.

6. Фізичний зміст похідної.

7. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної до графіка функції.

Висновок __________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Перевірив викладач_________________ Оцінка _________Дата________

 

 

ТЕМА 5. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

 

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 11

Тема. Основні поняття та означення функції багатьох змінних. Частинні похідні. Екстремуми функції багатьох змінних. Необхідна умова існування точок екстремуму.

 

Мета роботи: засвоїтиозначення функції двох змінних, правила дослідження на екстремум; навчитись проводити дослідження функції двох змінних на екстремум; застосовувати здобуті навички для розв’язування прикладних задач економічного змісту.

 

Наочне забезпечення та обладнання:

1. Інструкційні картки;

2. Приклади задач;

3. Роздаткові матеріали: опорні конспекти “ Диференціювання функцій багатьох змінних”

4. Обчислювальні засоби: калькулятор.

 

Теоретичні відомості про правила диференціювання.

Функцією двох змінних , називається функція, яка кожній парі чисел ставить у відповідність деяке число .

Аналогічно означається функція трьох і більше невідомих.

Частинні похідні.

- це похідна по функції при фіксованому

- це похідна по функції при фіксованому .

Частинні похідні функції знаходять за звичайними правилами диференціювання; потрібно тільки при диференціюванні по змінну вважати сталою, а при диференціюванні по вважати сталою.

Якщо , то ; - частинні похідні першого порядку.

- частина похідної другого порядку.

- мішані похідні другого порядку.

Якщо мішані похідні неперервні, то вони рівні.

Задача №1. Знайти частинні похідні першого і другого порядків від заданих функцій:

а) z = 8e - 3xy + 7x – 3