Теоретичні відомості про визначники та їх властивості

 

Розглянемо спочатку системи рівнянь, в яких кількість невідомих і кількість рівнянь рівні між собою, тобто m = n. Нехай, наприклад, n = m = 2, тоді маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:

Визначникомдругого порядку називається вираз

.

Визначником третього порядку називається вираз:

.

Задача 1. Обчислити визначники, використовуючи:

a) правило трикутників;

б) метод розкладу за елементами першого рядка;

в) правило Саррюса

 

Теоретичні відомості про матриці та дії над ними

Означення. Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпців. Якщо повернутися до системи рівнянь (1.1), то коефіцієнти при невідомих у лівій частині якраз і утворюють таку прямокутну таблицю:

.

Сумою матриць одного й того самого порядку і називається матриця ; ,будь-який елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В: .

2. Добутком матриці на деяке число називається така матриця С, кожен елемент якої утворюється множенням відповідних елементів матриці А на , .

3.Добутком матриці розміру на матрицю розміру називається така матриця розміру , , кожний елемент можна знайти за формулою:

.

Кожний елемент матриці С утворюється як сума добутків відповідних елементів і -го рядка матриці А на відповідні елементи
j -го стовпця матриці В.

Задача 2. Знайти , якщо А= ,

 

 

Задача 3. Розв’язати рівняння:

 

Задача 4. Знайти матрицю , , якщо

 

,

 

Питання для самоперевірки знань, умінь

1. Визначники другого та третього порядків.
2. Правило трикутників для обчислення визначників.
3. Розклад визначника за елементами рядка (стовпця.)
4. Правило Саррюса.
5. Що таке прямокутна матриця? Елементи матриці. Стовпці і рядки матриці.
6. Яка матриця називається квадратною? Головна діагональ матриці. Бічна діагональ матриці
7. Що таке сума матриць?Що таке добуток матриці на число?
8. Що таке добуток двох матриць?

 

Висновок _________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Перевірив викладач ___________ Оцінка___________Дата ______________

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 2

Тема. Розв’язування систем лінійних рівнянь основними методами: методом Гауса, за формулами Крамера

Мета роботи: навчитись розв’язувати системи лінійних рівнянь методами Крамера та Гауса.

Наочне забезпечення та обладнання:

1. Інструкційні картки;

2. Індивідуальні завдання;

3. Обчислювальні засоби.

 

Теоретичні відомості про правило Крамера

Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:

(1.4)

Теорема. Якщо головний визначник складений із коефі­цієнтів при невідомих системи n лінійних рівнянь з n невідомими (1.4), відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розв’язок (сумісна і визначена), який обчислюється за формулами:

,

де — головний визначник системи, який утворюється з коефіцієнтів при невідомих у лівій частині системи (1.4);

— визначник, який утворюється заміною j -го стовпця в головному визначнику на стовпець вільних членів.

 

Задача 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера:

a)